Represente geometricamente as funções abaixo. A seguir, determine o domínio e a imagem.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}2, \text { se }-6 \leq x \leq-2 \\\ \sqrt{x+2}, \text { se }-2<x<0 \\\\ 3-\sqrt{x}, \text { se } x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: representar geometricamente a função e determinar o domínio e a imagem. As informações dadas sobre a função são (copiadas do enunciado):
f(x)=\begin{cases} 2, & \text{se } -6 \le x \le -2,\\[4pt] \sqrt{x+2}, & \text{se } -2 < x < 0,\\[4pt] 3-\sqrt{x}, & \text{se } x \ge 0. \end{cases}
As perguntas explícitas são:
  • Representar geometricamente (ou seja, descrever/traçar o gráfico) de f.
  • Determinar o domínio de f.
  • Determinar a imagem (conjunto de valores que f assume) de f.]

Passo 2

Entender o domínio: olhar cada ramo e anotar para quais x cada expressão faz sentido e quais x o enunciado permite.
  • Primeiro ramo: f(x)=2 está definido para -6 \le x \le -2 (intervalo fechado). Não há restrição extra porque é constante.
  • Segundo ramo: f(x)=\sqrt{x+2} exige x+2\ge 0, ou seja x\ge -2. O enunciado restringe esse ramo a -2 < x < 0. Combinando, o domínio desse ramo é exatamente (-2,0).
  • Terceiro ramo: f(x)=3-\sqrt{x} exige x\ge 0 (porque \sqrt{x} só está definido para x\ge 0). O enunciado também dá x\ge 0. Logo domínio desse ramo é [0,\infty).
Unindo os três pedaços do domínio:
[-6,-2]\\ \cup\\ (-2,0)\\ \cup\\ [0,\infty) = [-6,\infty).
Portanto o domínio candidate é [-6,\infty). (Observação rápida: o ponto x=-2 está incluído no domínio via o primeiro ramo; o intervalo (-2,0) é aberto em -2 e em 0; o ponto x=0 está incluído via o terceiro ramo.)

Passo 3

Como representar geometricamente (passo a passo para desenhar o gráfico):
  • Desenhe eixos x e y. Marque x=-6,-2,0 no eixo x.
  • Primeiro ramo ( -6\le x\le -2, f(x)=2): é um segmento horizontal em y=2 que vai de x=-6 até x=-2. Como as desigualdades são fechadas, coloque pontos preenchidos (bolinhas preenchidas) em (-6,2) e em (-2,2) e conecte-os por uma linha reta horizontal.
  • Segundo ramo ( -2<x<0, f(x)=\sqrt{x+2}): faça a substituição t=x+2. Para -2<x<0 temos 0<t<2. Logo y=\sqrt{t} com t\in(0,2) produz y\in(0,\sqrt{2}). No eixo x, esse ramo parte imediatamente à direita de -2 (não inclui -2) e vai até imediatamente à esquerda de 0 (não inclui 0). No gráfico isso aparece como uma curva crescente (a clássica raiz quadrada) que começa perto de (-2,0) (mas com círculo aberto em (-2,0)) e sobe até (0,\sqrt{2}) (com círculo aberto em (0,\sqrt{2})), porque os extremos não estão incluídos nesse ramo.
  • Terceiro ramo ( x\ge 0, f(x)=3-\sqrt{x}): para x=0 temos f(0)=3, então coloque uma bolinha preenchida em (0,3). Para x>0 a função é 3-\sqrt{x}, que é uma curva decrescente: quando x cresce, \sqrt{x} cresce e 3-\sqrt{x} diminui. À medida que x\to\infty, \sqrt{x}\to\infty e portanto 3-\sqrt{x}\to -\infty. Então esse ramo é uma curva contínua que parte em (0,3) e decresce indefinidamente (passando por, por exemplo, (1,2) porque 3-\sqrt{1}=2, por (9,0) porque 3-\sqrt{9}=0, etc.).
  • Pontos de atenção no gráfico:
    • Em x=-2 aparecem dois valores limítrofes: o segundo ramo tende a 0 quando x\to -2^+ (ponto (-2,0) aberto) e o primeiro ramo dá f(-2)=2 (ponto (-2,2) fechado). Então há um salto entre 0 (não incluído) e 2 (incluído) em x=-2.
    • Em x=0 o segundo ramo tende a \sqrt{2} quando x\to 0^- (ponto (0,\sqrt{2}) aberto) enquanto o terceiro ramo dá f(0)=3 (ponto (0,3) fechado). Há outro salto em x=0.
  • Dicas para desenhar à mão sem calculadora: marque alguns pontos chave e conecte com a forma conhecida de cada curva:
    • Primeiro ramo: reta horizontal em y=2.
    • Segundo ramo: curva de raiz quadrada deslocada 2 unidades à esquerda (porque é \sqrt{x+2}).
    • Terceiro ramo: curva decrescente igual a 3 menos uma raiz quadrada.

Passo 4

Determinar a imagem (conjunto de valores y que f assume): analisar o alcance de cada ramo e depois unir.
  • Primeiro ramo: f(x)=2 para -6\le x\le -2. Contribui com o valor 2, ou seja o conjunto \{2\}.
  • Segundo ramo: f(x)=\sqrt{x+2} com -2<x<0. Fazendo t=x+2 obtemos t\in(0,2) e y=\sqrt{t}\in(0,\sqrt{2}). Portanto a imagem desse ramo é (0,\sqrt{2}). Note que 0 e \sqrt{2} não são atingidos por esse ramo (são limites, não incluídos).
  • Terceiro ramo: f(x)=3-\sqrt{x} com x\in[0,\infty). Coloque s=\sqrt{x}, então s\in[0,\infty) e y=3-s. Assim y varia em (-\infty,3] — quando s=0 (isto é x=0) tem y=3 (incluído), e quando s\to\infty tem y\to -\infty. Portanto a imagem do terceiro ramo é (-\infty,3].
  • Agora a união das imagens:
\{2\}\\ \cup\\ (0,\sqrt{2})\\ \cup\\ (-\infty,3] = (-\infty,3].
Justificativa: (-\infty,3] já contém \{2\} e contém todos os valores maiores que \sqrt{2} até 3 (esses são atingidos pelo terceiro ramo), contém 0 (por exemplo f(9)=0), e contém todos valores negativos e grandes negativos. O único possível ponto de dúvida era se havia algum valor >3 ou entre \sqrt{2} e 3 que não fosse atingido — mas para qualquer y\le 3 basta resolver 3-\sqrt{x}=y que dá \sqrt{x}=3-y\ge 0, ou seja x=(3-y)^2\ge 0, o que produz esse y. Logo todo y\le 3 é atingido por algum x\ge 0. Assim a imagem total é (-\infty,3].

Passo 5

Alguns exemplos numéricos para fixar:
  • x=-6\Rightarrow f(-6)=2 (ponto (-6,2)).
  • x=-2: pelo primeiro ramo f(-2)=2 (ponto (-2,2) preenchido); pelo segundo ramo não há valor em -2 (há um limite 0 não incluído).
  • x=-1\Rightarrow f(-1)=\sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1 (isso está no intervalo (0,\sqrt{2})).
  • x=0\Rightarrow f(0)=3 (ponto (0,3) preenchido).
  • x=1\Rightarrow f(1)=3-\sqrt{1}=2 (isso mostra que o valor 2 também aparece no terceiro ramo).
  • x=9\Rightarrow f(9)=3-\sqrt{9}=0 (mostra que 0 está na imagem).
  • Para ver que valores negativos aparecem, tomar x=16\Rightarrow f(16)=3-4=-1, e para x grande f(x) fica arbitrariamente negativo.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\left[-6,\infty\right)
\mathrm{Im}(f)=(-\infty,3]

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