Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{1}(x)=f(x)+3;

Passo 1

O enunciado dá a função \;g_{1}(x)=f(x)+3\; e pede para representá‑la geometricamente usando translação. Informação entregue:
  • A expressão da função transformada é \;g_{1}(x)=f(x)+3\;.
  • O que se pede: descrever geometricamente (como desenhar / como obter o gráfico de \;g_{1}\; a partir do gráfico de \;f) usando translação.

Passo 2

Entender o que significa somar uma constante à função. Se em um ponto qualquer x o valor de f é \;f(x)\;, então o valor de g_{1} nesse mesmo x é
g_{1}(x)=f(x)+3.
Isto diz: para cada x o novo y é o antigo y somado a 3. Geometricamente, cada ponto (x,f(x)) do gráfico de f passa a ser o ponto
\bigl(x,f(x)+3\bigr)
no gráfico de g_{1}. Ou seja, aplica‑se a transformação de translação pelo vetor (0,3).

Passo 3

Descrever a translação de forma concreta e prática (para a prova):
  • Vetor de translação: \;(0,3)\; (sem deslocamento horizontal, deslocamento vertical de +3).
  • Regra para transformar pontos: pegar vários pontos notáveis do gráfico de f — por exemplo pontos (x_0,f(x_0)) — e desenhá‑los em (x_0,f(x_0)+3).
  • Resultado visual: o gráfico de g_{1} tem exatamente a mesma forma e inclinações do gráfico de f; apenas está deslocado 3 unidades para cima.

Passo 4

Consequências importantes que ajudam na interpretação rápida:
  • Domínio: \displaystyle \mathrm{Dom}(g_{1})=\mathrm{Dom}(f) (a translação vertical não altera os x possíveis).
  • Imagem (contraste): se \displaystyle \mathrm{Im}(f)=\{y:\exists x,\,y=f(x)\} então
\mathrm{Im}(g_{1})=\{\,y+3 : y\in\mathrm{Im}(f)\,\}.
Em particular, se \mathrm{Im}(f)=[a,b] então \mathrm{Im}(g_{1})=[a+3,b+3].
  • Interceptos: o intercepto em y passa de f(0) para f(0)+3. As raízes (zeros) mudam: resolver g_{1}(x)=0 é o mesmo que resolver f(x)=-3, portanto zeros de f não viram zeros de g_{1} (salvo casos especiais).
  • Derivadas / inclinações: se f for diferenciável, g_{1}'(x)=f'(x). Ou seja, tangentes e inclinações permanecem iguais — só sobe o valor de y.

Passo 5

Exemplo concreto para fixar (mesma técnica serve em prova):
  • Seja f(x)=x^{2}. Então g_{1}(x)=x^{2}+3.
  • Pontos: (0,0) em f vira (0,3) em g_{1}; (1,1) vira (1,4); vértice (0,0) sobe para (0,3).
  • Desenho prático na prova: desenha o gráfico de f (aqui a parábola), depois, para cada ponto importante, marca um ponto exatamente 3 unidades acima e traça a curva passando por esses pontos. Alternativamente, desenha o gráfico original e desloca a curva inteira verticalmente 3 unidades para cima.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (passo a passo que você pode escrever/seguir):
  1. Identifique a constante somada (aqui +3).
  2. Anote o vetor de translação (0,3).
  3. Pegue 3–5 pontos notáveis do gráfico de f (interceptos, vértices, pontos com coordenadas inteiras).
  4. Some 3 à coordenada y de cada ponto: (x,y)\mapsto(x,y+3).
  5. Una os pontos preservando a forma — a curva não muda de formato, apenas sobe.
  6. Escreva que domínio permanece igual e que a imagem foi transladada soma 3.

Resposta

O gráfico de \;g_{1}(x)=f(x)+3\; é o gráfico de \;f\; transladado verticalmente 3 unidades para cima; cada ponto (x,f(x)) vai para (x,f(x)+3); \mathrm{Dom}(g_{1})=\mathrm{Dom}(f) e \mathrm{Im}(g_{1})=\{y+3: y\in\mathrm{Im}(f)\}.

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