Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{1}(x)=f(x)+4;

Passo 1

O enunciado pede que eu represente geometricamente, usando translação, a função g_{1}(x)=f(x)+4. As informações que tenho são:
  • A função original é f, cujo gráfico é o conjunto de pontos (x,f(x)).
  • A função transformada é g_{1}(x)=f(x)+4.
    O que se quer: descrever (e saber desenhar) o gráfico de g_{1} a partir do gráfico de f.

Passo 2

Entender o que significa g_{1}(x)=f(x)+4 ponto a ponto. Seja um ponto genérico do gráfico de f: (a,f(a)). Substituindo x=a em g_{1} obtemos
g_{1}(a)=f(a)+4.
Logo, ao mesmo valor de abscissa a corresponde agora a ordenada f(a)+4. Em termos de pontos: o ponto (a,f(a)) do gráfico de f passa a ser o ponto (a,f(a)+4) do gráfico de g_{1}.

Passo 3

Interpretação geométrica direta. A regra do Passo 2 diz que, para cada ponto do gráfico de f, mantemos a mesma coordenada x e somamos 4 à coordenada y. Isso é exatamente uma translação vertical para cima de 4 unidades. Em palavras simples: pega o gráfico de f e move tudo paralelamente para cima, sem esticar ou girar.

Passo 4

Consequências práticas (coisas que mudam e coisas que não mudam):
  • As abscissas dos pontos importantes permanecem as mesmas: se f tem um máximo em x=a, g_{1} tem máximo (ou extremo correspondente) no mesmo x=a.
  • As ordenadas desses pontos aumentam em 4: se f(a)=b, então g_{1}(a)=b+4.
  • Interseção com o eixo y: se f(0)=c (peguei isso do gráfico ou do dado de f), então a nova interseção é g_{1}(0)=c+4.
  • Zeros (raízes): os x tais que f(x)=0 não são necessariamente zeros de g_{1}. Para g_{1}(x)=0 precisa f(x)=-4. Ou seja, as abscissas onde o gráfico corta o eixo x podem mudar.
  • Assíntotas horizontais: se f tem assíntota horizontal y=L, g_{1} terá assíntota y=L+4.
  • Assíntotas verticais e a forma geral do gráfico NÃO mudam (a forma é preservada).

Passo 5

Exemplo concreto para fixar a ideia. Suponha f(x)=x^{2}. Então
g_{1}(x)=x^{2}+4.
  • O vértice de f é (0,0). No gráfico de g_{1} o vértice é (0,4).
  • O ponto (1,1) em f vira (1,5) em g_{1}.
    Desenhar g_{1} a partir de f: traçar a parábola x^{2} e deslocar cada ponto 4 unidades para cima — obtém-se exatamente x^{2}+4.

Passo 6

Como desenhar na prova, passo a passo:
  1. Desenha o gráfico conhecido de f (ou marque seus pontos importantes).
  2. Em cada ponto marcado (x,y) deslize verticalmente até (x,y+4) — ou marque uma régua vertical de dimensão 4 no eixo y.
  3. Ligue os pontos deslocados mantendo a mesma forma: a curva resultante é o gráfico de g_{1}.
    Dica prática: marque primeiro alguns pontos-chave (vértices, interceptos, pontos simétricos) e só então esboce a curva inteira.

Resposta

O gráfico de g_{1}(x)=f(x)+4 é o gráfico de f transladado verticalmente 4 unidades para cima.

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