Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{1}(x)=f(x)-2;

Passo 1

O enunciado dá a função g_{1} definida em termos de f:
  • Dado: g_{1}(x)=f(x)-2.
    O que é pedido:
  • Representar geometricamente g_{1} usando translação (ou seja, descrever como o gráfico de g_{1} se obtém a partir do gráfico de f).
    Observação útil para a resolução:
  • Não foi dada uma expressão concreta para f nem um gráfico específico; a representação pedida deve ser em termos gerais (transformação do gráfico de f).

Passo 2

Conceito básico (aula rápida e intuitiva): o que significa subtrair uma constante do valor de uma função.
  • Se uma função h é definida por h(x)=f(x)+c, com c constante, isso desloca o gráfico verticalmente.
  • Especificamente, quando c>0 o gráfico sobe c unidades; quando c<0 o gráfico desce |c| unidades.
    Explicação por que isso acontece (com um ponto genérico):
  • Tome um ponto qualquer (a,f(a)) que pertence ao gráfico de f.
  • Para g_{1} temos g_{1}(a)=f(a)-2. Portanto o ponto correspondente no gráfico de g_{1} é (a,f(a)-2).
  • Em cada abscissa x=a o valor da ordenada foi reduzido em 2. Logo todo ponto do gráfico de f é levado para baixo em 2 unidades.

Passo 3

Conclusão direta da translação:
  • O gráfico de g_{1} é exatamente o gráfico de f transladado 2 unidades para baixo (ou deslocado verticalmente para baixo por 2).
  • Em notação descritiva: gráfico (g_{1}) = gráfico (f) traduzido por (0,-2) (vetor de translação).

Passo 4

Consequências práticas que ajudam a desenhar ou interpretar o novo gráfico:
  • Domínio: o domínio de g_{1} é o mesmo que o domínio de f (a translação vertical não altera as x).
  • Imagem (contradomínio/intervalo): se a imagem de f é um conjunto I, a imagem de g_{1} é I-2=\{y-2 : y\in I\} (toda ordenada reduzida em 2).
  • Intercepto em y: se f(0)=b então g_{1}(0)=b-2.
  • Máximos/mínimos relativos e valores especiais: todas as ordenadas relativas são reduzidas em 2 (a posição em x dos extremos não muda).
  • Assíntotas horizontais: se f tem assíntota horizontal y=L, g_{1} terá assíntota horizontal y=L-2.

Passo 5

Como desenhar na prática (passos rápidos para a prova, sem calculadora):
  1. Pegue o gráfico de f.
  2. Para alguns pontos-chave (p. ex. interseções com eixos, vértices, pontos fáceis), subtraia 2 da coordenada y de cada ponto. Escreva os novos pontos: (x, y)\mapsto(x, y-2).
  3. Desenhe a curva passando por esses pontos mantendo a forma original (mesma curvatura, inclinações, etc.), apenas 2 unidades abaixo.
    Dica útil: marque o vetor de translação vertical (0,-2) no desenho para guiar o deslocamento.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (modelo que dá intuição):
  • Suponha f(x)=x^{2} (apenas como exemplo). O vértice de f é (0,0). Então para g_{1}(x)=x^{2}-2 o vértice passa a ser (0,-2). A parábola mantém a mesma largura e orientação, apenas deslocada 2 unidades para baixo.
  • Este exemplo mostra claramente que nada muda na abscissa dos pontos, só a ordenada diminui em 2.

Passo 7

Resumo motivador: sempre que vir f(x)- uma constante, pense “pegar o gráfico de f e descer/no caso subir conforme o sinal da constante”. Isso salva tempo e evita cálculos desnecessários na prova.

Resposta

O gráfico de g_{1} é o gráfico de f transladado 2 unidades para baixo.

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