Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em termos de
:
- Dado:
.
O que é pedido: - Representar geometricamente
usando translação (ou seja, descrever como o gráfico de se obtém a partir do gráfico de ).
Observação útil para a resolução: - Não foi dada uma expressão concreta para
nem um gráfico específico; a representação pedida deve ser em termos gerais (transformação do gráfico de ).
Passo 2
Conceito básico (aula rápida e intuitiva): o que significa subtrair uma constante do valor de uma função.
- Se uma função
é definida por , com constante, isso desloca o gráfico verticalmente. - Especificamente, quando
o gráfico sobe unidades; quando o gráfico desce unidades.
Explicação por que isso acontece (com um ponto genérico): - Tome um ponto qualquer
que pertence ao gráfico de . - Para
temos . Portanto o ponto correspondente no gráfico de é . - Em cada abscissa
o valor da ordenada foi reduzido em . Logo todo ponto do gráfico de é levado para baixo em unidades.
Passo 3
Conclusão direta da translação:
- O gráfico de
é exatamente o gráfico de transladado 2 unidades para baixo (ou deslocado verticalmente para baixo por ). - Em notação descritiva: gráfico
gráfico traduzido por (vetor de translação).
Passo 4
Consequências práticas que ajudam a desenhar ou interpretar o novo gráfico:
- Domínio: o domínio de
é o mesmo que o domínio de (a translação vertical não altera as ). - Imagem (contradomínio/intervalo): se a imagem de
é um conjunto , a imagem de é (toda ordenada reduzida em ). - Intercepto em
: se então . - Máximos/mínimos relativos e valores especiais: todas as ordenadas relativas são reduzidas em
(a posição em dos extremos não muda). - Assíntotas horizontais: se
tem assíntota horizontal , terá assíntota horizontal .
Passo 5
Como desenhar na prática (passos rápidos para a prova, sem calculadora):
- Pegue o gráfico de
. - Para alguns pontos-chave (p. ex. interseções com eixos, vértices, pontos fáceis), subtraia 2 da coordenada
de cada ponto. Escreva os novos pontos: . - Desenhe a curva passando por esses pontos mantendo a forma original (mesma curvatura, inclinações, etc.), apenas 2 unidades abaixo.
Dica útil: marque o vetor de translação verticalno desenho para guiar o deslocamento.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (modelo que dá intuição):
- Suponha
(apenas como exemplo). O vértice de é . Então para o vértice passa a ser . A parábola mantém a mesma largura e orientação, apenas deslocada 2 unidades para baixo. - Este exemplo mostra claramente que nada muda na abscissa dos pontos, só a ordenada diminui em
.
Passo 7
Resumo motivador: sempre que vir
uma constante, pense “pegar o gráfico de
e descer/no caso subir conforme o sinal da constante”. Isso salva tempo e evita cálculos desnecessários na prova.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidades para baixo.