Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
;
Passo 1
O enunciado dá a função transformada
definida por
e pede que se represente geometricamente
usando translação a partir do gráfico de
.
Informações relevantes:
- Está dada a função original
(o gráfico de é a referência). - Está dada a função transformada
. - A tarefa: descrever e representar geometricamente
usando translação do gráfico de .
Passo 2
Conceito-chave (explicado passo a passo): subtrair um número da imagem de uma função equivale a uma translação vertical do gráfico.
- Se um ponto do gráfico de
é , então o ponto correspondente no gráfico de é . - Em palavras: cada coordenada
do gráfico de vira no gráfico de . - Logo, toda a curva é deslocada no sentido negativo do eixo
.
Passo 3
Descrição matemática do deslocamento:
- Mapeamento de pontos:
. - Isso é uma translação vertical de magnitude
unidades para baixo. - Não há alteração nas coordenadas
: a abscissa de cada ponto permanece a mesma.
Passo 4
Efeito sobre domínio e imagem (range):
- O domínio de
é igual ao domínio de , pois não mudamos as abscissas. - Se a imagem (range) de
é , então a imagem de é
Isto é, a imagem é simplesmente a imagem de
deslocada 3 unidades para baixo.
Passo 5
Efeito sobre interceptos e pontos notáveis (como ensinar alguém a usar isso na prova):
- Intercepto em
: se então . Ou seja, o intercepto em desceu 3 unidades. - Interceptos em
: são as soluções de , isto é as soluções de ou seja as soluções de . Assim, os zeros de correspondem aos pontos onde o gráfico de atinge a altura . - Máximos/minimos relativos: alturas são reduzidas em 3; as abscissas dos extremos não mudam, apenas as ordenadas.
Passo 6
Como desenhar passo a passo na prova (receita prática):
- Desenhe o gráfico de
normalmente (ou pegue o rascunho que o enunciado deu). - Para cada ponto chave do gráfico de
(interceptos, vértices, pontos de inflexão, pontos marcados), subtraia 3 da coordenada . - Marque esses pontos deslocados e trace a curva passando por eles, mantendo a mesma forma local (mesma curvatura, mesma inclinação nas tangentes).
- Rotule claramente que a curva nova é
e, se necessário, desenhe setas mostrando o vetor de translação .
Passo 7
Exemplo concreto e rápido para fixar (um modelo que dá vontade de desenhar na prova):
- Pegue
. Então
- O vértice de
é . No gráfico de o vértice fica em — ou seja, desceu 3 unidades. - Alguns pontos:
vira ; vira . Isso mostra claramente o deslocamento vertical em todos os pontos.
Passo 8
Resumo final, em linguagem de prova e pronta para ser escrita no gabarito: o gráfico de
é o gráfico de
transladado 3 unidades para baixo; simbolicamente, a translação vetorial é
.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidades para baixo.