Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{1}(x)=f(x)-3;

Passo 1

O enunciado dá a função transformada g_{1} definida por g_{1}(x)=f(x)-3 e pede que se represente geometricamente g_{1} usando translação a partir do gráfico de f.
Informações relevantes:
  • Está dada a função original f (o gráfico de f é a referência).
  • Está dada a função transformada g_{1}(x)=f(x)-3.
  • A tarefa: descrever e representar geometricamente g_{1} usando translação do gráfico de f.

Passo 2

Conceito-chave (explicado passo a passo): subtrair um número da imagem de uma função equivale a uma translação vertical do gráfico.
  • Se um ponto do gráfico de f é (x,\,f(x)), então o ponto correspondente no gráfico de g_{1} é (x,\,f(x)-3).
  • Em palavras: cada coordenada y do gráfico de f vira y-3 no gráfico de g_{1}.
  • Logo, toda a curva é deslocada no sentido negativo do eixo y.

Passo 3

Descrição matemática do deslocamento:
  • Mapeamento de pontos: (x,\,f(x)) \mapsto (x,\,f(x)-3).
  • Isso é uma translação vertical de magnitude 3 unidades para baixo.
  • Não há alteração nas coordenadas x: a abscissa de cada ponto permanece a mesma.

Passo 4

Efeito sobre domínio e imagem (range):
  • O domínio de g_{1} é igual ao domínio de f, pois não mudamos as abscissas.
  • Se a imagem (range) de f é R_f, então a imagem de g_{1} é
R_{g_{1}}=\{y-3 \mid y\in R_f\}=R_f-3.
Isto é, a imagem é simplesmente a imagem de f deslocada 3 unidades para baixo.

Passo 5

Efeito sobre interceptos e pontos notáveis (como ensinar alguém a usar isso na prova):
  • Intercepto em y: se f(0)=b então g_{1}(0)=b-3. Ou seja, o intercepto em y desceu 3 unidades.
  • Interceptos em x: são as soluções de g_{1}(x)=0, isto é as soluções de f(x)-3=0 ou seja as soluções de f(x)=3. Assim, os zeros de g_{1} correspondem aos pontos onde o gráfico de f atinge a altura y=3.
  • Máximos/minimos relativos: alturas são reduzidas em 3; as abscissas dos extremos não mudam, apenas as ordenadas.

Passo 6

Como desenhar passo a passo na prova (receita prática):
  1. Desenhe o gráfico de f normalmente (ou pegue o rascunho que o enunciado deu).
  2. Para cada ponto chave do gráfico de f (interceptos, vértices, pontos de inflexão, pontos marcados), subtraia 3 da coordenada y.
  3. Marque esses pontos deslocados e trace a curva passando por eles, mantendo a mesma forma local (mesma curvatura, mesma inclinação nas tangentes).
  4. Rotule claramente que a curva nova é g_{1}(x)=f(x)-3 e, se necessário, desenhe setas mostrando o vetor de translação (0,-3).

Passo 7

Exemplo concreto e rápido para fixar (um modelo que dá vontade de desenhar na prova):
  • Pegue f(x)=x^{2}. Então
g_{1}(x)=x^{2}-3.
  • O vértice de f é (0,0). No gráfico de g_{1} o vértice fica em (0,-3) — ou seja, desceu 3 unidades.
  • Alguns pontos: f(1)=1 vira g_{1}(1)=-2; f(2)=4 vira g_{1}(2)=1. Isso mostra claramente o deslocamento vertical em todos os pontos.

Passo 8

Resumo final, em linguagem de prova e pronta para ser escrita no gabarito: o gráfico de g_{1} é o gráfico de f transladado 3 unidades para baixo; simbolicamente, a translação vetorial é (0,-3).

Resposta

O gráfico de g_{1}(x)=f(x)-3 é o gráfico de f transladado 3 unidades para baixo.

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