Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{1}(x)=f(x)+5;

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente a função g_{1} dada por
g_{1}(x)=f(x)+5.
Informações fornecidas:
  • A função original é f (gráfico conhecido ou que se deve imaginar).
  • A função que queremos representar geometricamente é g_{1} definida acima.
    O pedido é: usar translação (deslocamento) para descrever o gráfico de g_{1} a partir do gráfico de f.

Passo 2

Conceito básico de translação (explicação didática).
  • Uma translação é um deslocamento rígido do plano: cada ponto (x,y) vai para um novo ponto (x+\Delta x,\,y+\Delta y), onde (\Delta x,\Delta y) é o vetor de translação.
  • No caso de somar uma constante à função, isto é, passar de f(x) para f(x)+c, o gráfico sofre uma translação vertical. Mostrar isso formalmente: se (a,f(a)) é um ponto do gráfico de f, então no gráfico de g_{1} temos o ponto (a,g_{1}(a))=(a,f(a)+5). Logo, cada ponto sobe exatamente 5 unidades no eixo y.

Passo 3

Representação da translação como operador e consequência para o gráfico.
  • Definir o operador de translação vertical por T_{(0,5)} tal que
T_{(0,5)}(x,y)=(x,y+5).
  • A relação entre gráficos é
\text{Gráfico}(g_{1})=T_{(0,5)}\big(\text{Gráfico}(f)\big).áá
Isto quer dizer: pegue cada ponto do gráfico de f e aplique T_{(0,5)}; o conjunto resultante é o gráfico de g_{1}.

Passo 4

O que muda e o que permanece igual (domínio, imagem, forma).
  • Domínio: permanece o mesmo. Formalmente,
\operatorname{Dom}(g_{1})=\{x\mid f(x)\\ \text{definida}\}=\operatorname{Dom}(f).
  • Imagem (contradomínio efetivo): é a imagem de f deslocada para cima em 5 unidades. Se \operatorname{Im}(f)=\{y\}, então
\operatorname{Im}(g_{1})=\{y+5 \mid y\in\operatorname{Im}(f)\}.
  • Forma do gráfico: não muda (não há estiramento, nem reflexão). Só há deslocamento vertical de todas as partes do gráfico.

Passo 5

Efeito sobre pontos notáveis (interceptos, máximos/mínimos).
  • Intercepto em y: o novo intercepto é
g_{1}(0)=f(0)+5.
Ou seja, sobe 5 unidades em relação ao intercepto de f.
  • Interceptos em x (raízes): resolver g_{1}(x)=0
f(x)+5=0 \quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=-5.
Portanto as abscissas das raízes de g_{1} são os pontos onde f valia -5. Em geral as raízes mudam; não basta somar 5 às abscissas das raízes de f.
  • Pontos extremos (máximos/minimos): se f tem um mínimo em (x_{0},f(x_{0})), então g_{1} tem mínimo em (x_{0},f(x_{0})+5). Abscissa do extremo não muda; ordenada sobe 5.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (modelo simples).
  • Tome f(x)=x^{2}. O gráfico de f é a parábola com vértice em (0,0).
  • Então
g_{1}(x)=x^{2}+5.
  • Aplicando a regra: cada ponto sobe 5 unidades. O vértice passa a ser (0,5). A forma (parábola que abre para cima) é a mesma; apenas deslocada para cima 5 unidades.
  • Observações numéricas: f não tem raízes reais iguais a 0 aqui exceto x=0 para f; já g_{1} não tem raízes reais porque x^{2}+5\ge 5>0. Esse exemplo ilustra que adicionar 5 pode eliminar raízes.

Passo 7

Como desenhar rápido na prova (receita prática e truque mental).
  • Se tiver o gráfico de f desenhado, marque uma régua imaginária vertical de 5 unidades: para cada ponto do gráfico, suba 5 unidades e marque o novo ponto; una esses novos pontos suavemente — esse é o gráfico de g_{1}.
  • Se tiver apenas pontos notáveis (vértices, interceptos, pontos de referência), aplique a transformação y\mapsto y+5 nessas ordenadas e reconstrua a curva.
  • Dica de confiança: sempre que a expressão for f(x)+c com c>0, é deslocamento para cima; se c<0, é deslocamento para baixo. Respira, aplica o deslocamento e pronto — sem mudar forma.

Resposta

O gráfico de g_{1} é o gráfico de f transladado verticalmente 5 unidades para cima; cada ponto (x,f(x)) vai para (x,f(x)+5).

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