Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
;
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente a função
dada por
Informações fornecidas:
- A função original é
(gráfico conhecido ou que se deve imaginar). - A função que queremos representar geometricamente é
definida acima.
O pedido é: usar translação (deslocamento) para descrever o gráfico dea partir do gráfico de .
Passo 2
Conceito básico de translação (explicação didática).
- Uma translação é um deslocamento rígido do plano: cada ponto
vai para um novo ponto , onde é o vetor de translação. - No caso de somar uma constante à função, isto é, passar de
para , o gráfico sofre uma translação vertical. Mostrar isso formalmente: se é um ponto do gráfico de , então no gráfico de temos o ponto . Logo, cada ponto sobe exatamente 5 unidades no eixo .
Passo 3
Representação da translação como operador e consequência para o gráfico.
- Definir o operador de translação vertical por
tal que
- A relação entre gráficos é
Isto quer dizer: pegue cada ponto do gráfico de
e aplique
; o conjunto resultante é o gráfico de
.
Passo 4
O que muda e o que permanece igual (domínio, imagem, forma).
- Domínio: permanece o mesmo. Formalmente,
- Imagem (contradomínio efetivo): é a imagem de
deslocada para cima em 5 unidades. Se , então
- Forma do gráfico: não muda (não há estiramento, nem reflexão). Só há deslocamento vertical de todas as partes do gráfico.
Passo 5
Efeito sobre pontos notáveis (interceptos, máximos/mínimos).
- Intercepto em
: o novo intercepto é
Ou seja, sobe 5 unidades em relação ao intercepto de
.
- Interceptos em
(raízes): resolver dá
Portanto as abscissas das raízes de
são os pontos onde
valia
. Em geral as raízes mudam; não basta somar 5 às abscissas das raízes de
.
- Pontos extremos (máximos/minimos): se
tem um mínimo em , então tem mínimo em . Abscissa do extremo não muda; ordenada sobe 5.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia (modelo simples).
- Tome
. O gráfico de é a parábola com vértice em . - Então
- Aplicando a regra: cada ponto sobe 5 unidades. O vértice passa a ser
. A forma (parábola que abre para cima) é a mesma; apenas deslocada para cima 5 unidades. - Observações numéricas:
não tem raízes reais iguais a aqui exceto para ; já não tem raízes reais porque . Esse exemplo ilustra que adicionar 5 pode eliminar raízes.
Passo 7
Como desenhar rápido na prova (receita prática e truque mental).
- Se tiver o gráfico de
desenhado, marque uma régua imaginária vertical de 5 unidades: para cada ponto do gráfico, suba 5 unidades e marque o novo ponto; una esses novos pontos suavemente — esse é o gráfico de . - Se tiver apenas pontos notáveis (vértices, interceptos, pontos de referência), aplique a transformação
nessas ordenadas e reconstrua a curva. - Dica de confiança: sempre que a expressão for
com , é deslocamento para cima; se , é deslocamento para baixo. Respira, aplica o deslocamento e pronto — sem mudar forma.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado verticalmente 5 unidades para cima; cada ponto
vai para
.