Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função transformada
e pede para representar geometricamente essa função usando translação. Informações dadas:
- A função original é
(cujo gráfico imaginamos conhecido). - A função transformada é
definida por .
O que é pedido:
- Descrever, de forma geométrica, como obter o gráfico de
a partir do gráfico de usando translações.
Passo 2
Entendendo como um gráfico representa uma função (o básico que vamos usar).
- O gráfico de
é o conjunto de pontos . - Cada ponto
do gráfico de corresponde ao valor da função no argumento : quando a abscissa é , a ordenada é . - Para relacionar
com precisamos ver, para um dado , qual ponto do gráfico de produz o mesmo valor.
Passo 3
Manipulação algébrica que mostra o efeito horizontal da expressão
.
- Tome um ponto genérico
no gráfico de . Aqui é um número qualquer do domínio de . - Queremos encontrar um ponto
no gráfico de que tenha a mesma ordenada (mesmo valor de função) que . - Pela definição,
. Para que precisamos que . - Resolvendo
obtemos . - Conclusão da manipulação: ao ponto
do gráfico de corresponde o ponto no gráfico de .
Passo 4
Interpretação geométrica dessa conclusão (a regra prática).
- A correspondência
significa que cada ponto do gráfico de é deslocado horizontalmente em unidades para a esquerda para formar o gráfico de . - Em palavras simples: a transformação
dentro de atrasa o argumento em , por isso o gráfico se move para a esquerda.
Passo 5
Exemplo numérico simples para fixar (pegando um
concreto).
- Seja
. O ponto é . - No
: . Para que a ordenada seja devemos ter , ou seja . Assim o ponto correspondente no gráfico de é . - Observa-se:
em virou em , um deslocamento de unidades para a esquerda. Isso confirma a regra geral.
Passo 6
Consequências práticas para esboçar gráficos e identificar pontos importantes.
- Zeros (raízes) de
: se satisfaz , então em a raiz correspondente é (zero deslocado para a esquerda em ). - Intercepto em
(valor em ): . Ou seja, o valor no eixo de é o valor que tinha em . - Assíntotas verticais, pontos de máximo/mínimo, etc.: todos sofrem o mesmo deslocamento horizontal de
unidades para a esquerda; as ordenadas (valores em ) não mudam. - Domínio:
pertence ao domínio de se, e somente se, pertence ao domínio de . Portanto o domínio de é o domínio de deslocado em .
Passo 7
Como desenhar na prática (passo a passo para a prova).
- Pegue o esboço do gráfico de
. - Para cada ponto-chave (interceptos, vértices, pontos marcantes) subtraia
da abscissa: . - Ligue os pontos deslocados com o mesmo tipo de curva que havia em
. - Rotule claramente: novo gráfico é o de
e está duas unidades à esquerda do gráfico de .
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidades para a esquerda.