Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{2}(x)=f(x+2)

Passo 1

O enunciado dá a função transformada g_{2}(x)=f(x+2) e pede para representar geometricamente essa função usando translação. Informações dadas:
  • A função original é f (cujo gráfico imaginamos conhecido).
  • A função transformada é g_{2} definida por g_{2}(x)=f(x+2).
O que é pedido:
  • Descrever, de forma geométrica, como obter o gráfico de g_{2} a partir do gráfico de f usando translações.

Passo 2

Entendendo como um gráfico representa uma função (o básico que vamos usar).
  • O gráfico de f é o conjunto de pontos \{(x,f(x)) \mid x\\ \text{no domínio de}\\ f\}í.
  • Cada ponto (a,f(a)) do gráfico de f corresponde ao valor da função no argumento a: quando a abscissa é a, a ordenada é f(a).
  • Para relacionar g_{2} com f precisamos ver, para um dado x, qual ponto do gráfico de f produz o mesmo valor.

Passo 3

Manipulação algébrica que mostra o efeito horizontal da expressão f(x+2).
  • Tome um ponto genérico (a,f(a)) no gráfico de f. Aqui a é um número qualquer do domínio de f.
  • Queremos encontrar um ponto (b,g_{2}(b)) no gráfico de g_{2} que tenha a mesma ordenada (mesmo valor de função) que (a,f(a)).
  • Pela definição, g_{2}(b)=f(b+2). Para que g_{2}(b)=f(a) precisamos que b+2=a.
  • Resolvendo b+2=a obtemos b=a-2.
  • Conclusão da manipulação: ao ponto (a,f(a)) do gráfico de f corresponde o ponto (a-2,f(a)) no gráfico de g_{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica dessa conclusão (a regra prática).
  • A correspondência (a,f(a)) \longmapsto (a-2,f(a)) significa que cada ponto do gráfico de f é deslocado horizontalmente em 2 unidades para a esquerda para formar o gráfico de g_{2}.
  • Em palavras simples: a transformação x\mapsto x+2 dentro de f atrasa o argumento em 2, por isso o gráfico se move para a esquerda.

Passo 5

Exemplo numérico simples para fixar (pegando um f concreto).
  • Seja f(x)=x^{2}. O ponto (1,f(1)) é (1,1).
  • No g_{2}: g_{2}(x)=f(x+2)=(x+2)^{2}. Para que a ordenada seja 1 devemos ter x+2=1, ou seja x=-1. Assim o ponto correspondente no gráfico de g_{2} é (-1,1).
  • Observa-se: (1,1) em f virou (-1,1) em g_{2}, um deslocamento de 2 unidades para a esquerda. Isso confirma a regra geral.

Passo 6

Consequências práticas para esboçar gráficos e identificar pontos importantes.
  • Zeros (raízes) de f: se x_{0} satisfaz f(x_{0})=0, então em g_{2} a raiz correspondente é x=x_{0}-2 (zero deslocado para a esquerda em 2).
  • Intercepto em y (valor em x=0): g_{2}(0)=f(2). Ou seja, o valor no eixo y de g_{2} é o valor que f tinha em x=2.
  • Assíntotas verticais, pontos de máximo/mínimo, etc.: todos sofrem o mesmo deslocamento horizontal de 2 unidades para a esquerda; as ordenadas (valores em y) não mudam.
  • Domínio: x pertence ao domínio de g_{2} se, e somente se, x+2 pertence ao domínio de f. Portanto o domínio de g_{2} é o domínio de f deslocado em -2.

Passo 7

Como desenhar na prática (passo a passo para a prova).
  1. Pegue o esboço do gráfico de f.
  2. Para cada ponto-chave (interceptos, vértices, pontos marcantes) subtraia 2 da abscissa: (x,y)\mapsto(x-2,y).
  3. Ligue os pontos deslocados com o mesmo tipo de curva que havia em f.
  4. Rotule claramente: novo gráfico é o de g_{2} e está duas unidades à esquerda do gráfico de f.

Resposta

O gráfico de g_{2} é o gráfico de f transladado 2 unidades para a esquerda.

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