Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{2}(x)=f(x-1)

Passo 1

O enunciado pede que se represente geometricamente, por translação, a função g_{2}(x)=f(x-1).
Informações dadas:
  • A função original é f (o gráfico de f é a referência).
  • A nova função é g_{2} definida por g_{2}(x)=f(x-1).
    O que se deve entregar: descrever claramente como obter o gráfico de g_{2} a partir do gráfico de f usando uma translação geométrica.

Passo 2

Entender o que significa escrever g_{2}(x)=f(x-1).
Tomemos um valor qualquer x. Pela definição,
g_{2}(x)=f(x-1).
Isso significa: o valor de g_{2} no ponto x é igual ao valor de f no ponto x-1. Em palavras: para saber a altura do gráfico de g_{2} em x, olhar a altura do gráfico de f um ponto à esquerda (em x-1).

Passo 3

Concluir a direção da translação a partir da relação anterior.
Se g_{2}(x) usa o valor de f em x-1, então para obter o mesmo valor de f em uma posição t devemos tomar x tal que x-1=t, isto é x=t+1. Portanto, os pontos do gráfico de f são levados para a direita em uma unidade para formar o gráfico de g_{2}. Em termos simples: a operação f(x-1) desloca o gráfico de f uma unidade para a direita.

Passo 4

Regra prática de transformação de pontos (fórmula útil na prova).
Se (t,\,f(t)) é um ponto do gráfico de f, então o ponto correspondente no gráfico de g_{2} é
(t+1,\,f(t)).
Outra forma equivalente: se (x,\,y) está no gráfico de g_{2}, então (x-1,\,y) está no gráfico de f.

Passo 5

Exemplo concreto (para treinar e aplicar na prova).
Suponha que o gráfico de f passe por (2,\,3). Aplicando a regra, o gráfico de g_{2} terá o ponto
(2+1,\,3)=(3,\,3).
Outro exemplo: se f tem zero em x=4 (isto é f(4)=0), então g_{2} terá zero em x=5 porque g_{2}(5)=f(5-1)=f(4)=0.

Passo 6

Como desenhar passo a passo na hora da prova (procedimento prático).
  1. No gráfico de f, escolha alguns pontos-chave (interceptos, máximos, mínimos, pontos onde a curva muda de inclinação).
  2. A cada ponto (t,\,f(t)) aplique a transformação (t,\,f(t))\mapsto(t+1,\,f(t)).
  3. Marque esses pontos novos no papel e ligue-os respeitando a forma local do gráfico original (mesma curvatura, mesmas retas, etc.). A forma não muda, só a posição horizontal.
  4. Opcional: desenhe uma seta ou um vetor (1,0) para lembrar que o deslocamento foi de 1 unidade para a direita.

Passo 7

Observações importantes e consequências (o que muda e o que permanece):
  • Domínio: se \operatorname{dom}(f)=D, então
\operatorname{dom}(g_{2})=\{x\mid x-1\in D\}=D+1,
ou seja, o domínio é deslocado uma unidade para a direita.
  • Imagem (contradomínio efetivo): a imagem de g_{2} é igual à imagem de f (os valores y possíveis não mudam).
  • Continuidade, derivadas, formas locais: preservadas pontualmente (a função apenas foi deslocada horizontalmente).
  • Intercepto em y: o valor g_{2}(0)=f(-1). Então o ponto em y muda, pois avalia-se f em outro x.

Passo 8

Resposta compacta para uso rápido na prova (frase para memorizar).
A operação f(x-h) desloca o gráfico de f uma unidade h para a direita quando h>0. No caso específico de g_{2}(x)=f(x-1), tem-se deslocamento para a direita de 1 unidade.

Resposta

O gráfico de g_{2}(x)=f(x-1) é o gráfico de f transladado uma unidade para a direita (vetor de translação (1,0)).

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