Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{2}(x)=f(x+1)

Passo 1

O enunciado dá uma única função transformada e pede a sua representação geométrica por translação. Informação fornecida:
  • A função transformada é g_{2}(x)=f(x+1).
O que se pede:
  • Explicar geometricamente (por translação) como obter o gráfico de g_{2} a partir do gráfico de f.

Passo 2

Entender o que significa “representar geometricamente”: o gráfico de uma função é o conjunto de pares (x,y) tais que y é o valor da função naquele x. Ou seja, o gráfico de f é \{(x,f(x))\mid x\in\text{domínio de }f\}í. Para representar g_{2} geometricamente vamos relacionar seus pontos com os pontos do gráfico de f.

Passo 3

Relação ponto a ponto. Suponha que (x_{0},y_{0}) é um ponto do gráfico de f. Isso significa que y_{0}=f(x_{0}). Queremos encontrar o ponto correspondente no gráfico de g_{2}. Procuramos x tal que
g_{2}(x)=f(x+1)=y_{0}.
Isto implica
x+1=x_{0}\quad\Longrightarrow\quad x=x_{0}-1.
Portanto, o ponto (x_{0},y_{0}) do gráfico de f corresponde ao ponto (x_{0}-1,y_{0}) do gráfico de g_{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica direta. A relação (x_{0},y_{0})\mapsto(x_{0}-1,y_{0}) diz que cada ponto do gráfico de f é deslocado na direção horizontal: a coordenada x diminui em 1 e a coordenada y permanece igual. Por isso o gráfico de g_{2} é exatamente o gráfico de f transladado 1 unidade para a esquerda.

Passo 5

Regra prática e memória curta (útil na prova): para transformações do tipo f(x+h) com h>0, o gráfico de f(x+h) é o gráfico de f deslocado h unidades para a esquerda. (Se fosse f(x-h) seria deslocado h unidades para a direita.) Lembre-se: o sinal do número dentro da função fica “invertido” como direção da translação.

Passo 6

Exemplo concreto rápido para fixar (pode fazer isso na prova): se f(x)=x^{2} então
g_{2}(x)=f(x+1)=(x+1)^{2}.
O vértice de f está em (0,0). No gráfico de g_{2} o vértice passa a estar em (-1,0): deslocamento de uma unidade para a esquerda. Outros pontos seguem a mesma regra horizontal.

Resposta

O gráfico de g_{2} é o gráfico de f transladado 1 unidade para a esquerda.

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