Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede que se represente geometricamente
a partir do gráfico de
usando translação. Informação fornecida:
- A fórmula de
é .
O que é pedido: - Mostrar, de forma geométrica e por translação, como obter o gráfico de
a partir do gráfico de .
Passo 2
Conceito básico e ideia intuitiva (sem fórmulas ainda). Translação de gráfico significa deslocar todo o gráfico de uma função rigidamente: horizontalmente e/ou verticalmente. No caso de
o deslocamento é horizontal. Intuição prática: cada ponto do gráfico de
“anda” duas unidades para a direita para formar o gráfico de
.
Passo 3
Demonstração algébrica do deslocamento (passo a passo pequeno e claro).
- Seja
um ponto do gráfico de ; isto é, . - Avaliando
em obtemos:
- Portanto o ponto
pertence ao gráfico de .
Conclusão imediata: cada pontodo gráfico de corresponde ao ponto do gráfico de . Isso é exatamente uma translação horizontal de unidades para a direita.
Passo 4
Intuição via entrada/saída (útil na prova). A função
pega o valor de
em
. Para que
atinja o valor que
tinha em
, preciso usar
. Em outras palavras, para ver no novo gráfico o valor que antes estava na posição
, agora olhamos na posição
. Por isso o gráfico “anda” para a direita.
Passo 5
Receita prática para desenhar
a partir de
(passos que você pode aplicar na prova):
- Desenhe o gráfico de
ou use o gráfico dado. - Marque alguns pontos característicos de
(interceptos, máximos/minimos, pontos de mudança, pontos bem conhecidos). - Para cada ponto
de , marque o ponto . - Ligue suavemente esses pontos mantendo a forma do gráfico original (a translação não altera curvatura nem inclinação local).
- Ajuste e desenhe o gráfico inteiro deslocado 2 unidades para a direita.
Dicas rápidas:
- As interseções com o eixo
são deslocadas 2 para a direita: se então . - O intercepto com o eixo
muda para (ou seja, para achar o ponto onde o novo gráfico cruza o eixo calcule ). - O domínio de
é o domínio de deslocado:
- A imagem (conjunto de valores) de
é igual à imagem de (a translação horizontal não altera a altura dos pontos).
Passo 6
Exemplo concreto, bem mastigado (faça igual na prova para conferir):
- Tome
. Então
- Pontos do
: , , . - Aplicando a regra
obtemos para : , , . - O vértice de
em vira vértice de em . Gráficos: parabola igual, apenas deslocada 2 unidades para a direita.
Passo 7
Resumo prático e estratégia de prova (o que marcar no enunciado para não esquecer):
- Ao ver
com , pense imediatamente: “deslocar o gráfico de para a direita em unidades”. - Para
com , seria deslocamento para a esquerda em unidades. - No desenho, escolha 3–5 pontos representativos, aplique a soma nas coordenadas
, mantenha as e refaça a curva.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
deslocado
unidades para a direita.