Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{2}(x)=f(x-2)

Passo 1

O enunciado dá a função g_{2} definida por g_{2}(x)=f(x-2) e pede que se represente geometricamente g_{2} a partir do gráfico de f usando translação. Informação fornecida:
  • A fórmula de g_{2} é g_{2}(x)=f(x-2).
    O que é pedido:
  • Mostrar, de forma geométrica e por translação, como obter o gráfico de g_{2} a partir do gráfico de f.

Passo 2

Conceito básico e ideia intuitiva (sem fórmulas ainda). Translação de gráfico significa deslocar todo o gráfico de uma função rigidamente: horizontalmente e/ou verticalmente. No caso de f(x-2) o deslocamento é horizontal. Intuição prática: cada ponto do gráfico de f “anda” duas unidades para a direita para formar o gráfico de g_{2}.

Passo 3

Demonstração algébrica do deslocamento (passo a passo pequeno e claro).
  • Seja (u,v) um ponto do gráfico de f; isto é, v=f(u).
  • Avaliando g_{2} em x=u+2 obtemos:
g_{2}(u+2)=f\big((u+2)-2\big)=f(u)=v.
  • Portanto o ponto (u+2,v) pertence ao gráfico de g_{2}.
    Conclusão imediata: cada ponto (u,v) do gráfico de f corresponde ao ponto (u+2,v) do gráfico de g_{2}. Isso é exatamente uma translação horizontal de 2 unidades para a direita.

Passo 4

Intuição via entrada/saída (útil na prova). A função g_{2}(x) pega o valor de f em x-2. Para que g_{2} atinja o valor que f tinha em u, preciso usar x=u+2. Em outras palavras, para ver no novo gráfico o valor que antes estava na posição u, agora olhamos na posição u+2. Por isso o gráfico “anda” para a direita.

Passo 5

Receita prática para desenhar g_{2} a partir de f (passos que você pode aplicar na prova):
  1. Desenhe o gráfico de f ou use o gráfico dado.
  2. Marque alguns pontos característicos de f (interceptos, máximos/minimos, pontos de mudança, pontos bem conhecidos).
  3. Para cada ponto (u,v) de f, marque o ponto (u+2,v).
  4. Ligue suavemente esses pontos mantendo a forma do gráfico original (a translação não altera curvatura nem inclinação local).
  5. Ajuste e desenhe o gráfico inteiro deslocado 2 unidades para a direita.
Dicas rápidas:
  • As interseções com o eixo x são deslocadas 2 para a direita: se f(a)=0 então g_{2}(a+2)=0.
  • O intercepto com o eixo y muda para g_{2}(0)=f(-2) (ou seja, para achar o ponto onde o novo gráfico cruza o eixo y calcule f(-2)).
  • O domínio de g_{2} é o domínio de f deslocado:
\text{dom}(g_{2})=\{x\mid x-2\in\text{dom}(f)\}=\text{dom}(f)+2.
  • A imagem (conjunto de valores) de g_{2} é igual à imagem de f (a translação horizontal não altera a altura dos pontos).

Passo 6

Exemplo concreto, bem mastigado (faça igual na prova para conferir):
  • Tome f(x)=x^{2}. Então
g_{2}(x)=f(x-2)=(x-2)^{2}.
  • Pontos do f: (0,0), (1,1), (2,4).
  • Aplicando a regra (u,v)\mapsto(u+2,v) obtemos para g_{2}: (2,0), (3,1), (4,4).
  • O vértice de f em (0,0) vira vértice de g_{2} em (2,0). Gráficos: parabola igual, apenas deslocada 2 unidades para a direita.

Passo 7

Resumo prático e estratégia de prova (o que marcar no enunciado para não esquecer):
  • Ao ver f(x-h) com h>0, pense imediatamente: “deslocar o gráfico de f para a direita em h unidades”.
  • Para f(x+ h) com h>0, seria deslocamento para a esquerda em h unidades.
  • No desenho, escolha 3–5 pontos representativos, aplique a soma nas coordenadas x, mantenha as y e refaça a curva.

Resposta

O gráfico de g_{2}(x)=f(x-2) é o gráfico de f deslocado 2 unidades para a direita.

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