Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{3}(x)=f(x+1)-2;

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente a função g_{3} em termos do gráfico de f. A função dada é
g_{3}(x)=f(x+1)-2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função original é f (conhecida apenas pelo seu gráfico).
  • A função transformada é g_{3}, definida por g_{3}(x)=f(x+1)-2.
  • A tarefa: descrever qual translação (deslocamento) do gráfico de f produz o gráfico de g_{3}.

Passo 2

Entendendo translação horizontal: regra geral e por que funciona.
  • Regra famosa: substituir x por x-h em f desloca o gráfico de f para a direita em h unidades; substituir por x+h desloca para a esquerda em h unidades.
  • Explicação passo a passo (geometria de pontos). Seja um ponto qualquer do gráfico de f: (a,\,f(a)). Para ver onde esse ponto vai no gráfico de y=f(x-h) tomamos
y=f(x-h).
Queremos encontrar um x tal que y=f(a). Colocando x=a+h obtemos y=f((a+h)-h)=f(a). Assim o ponto (a,\,f(a)) aparece agora em (a+h,\,f(a)). Ou seja, o gráfico inteiro foi deslocado h unidades para a direita. Pela mesma lógica, f(x+h) corresponde a deslocamento de h unidades para a esquerda (pois tomar x=a-h recupera f(a)).

Passo 3

Aplicando a regra ao termo f(x+1).
  • Aqui x foi substituído por x+1, que corresponde à forma x+h com h=1.
  • Pelo raciocínio do passo anterior, f(x+1) é o gráfico de f deslocado 1 unidade para a esquerda.

Passo 4

Entendendo translação vertical: regra geral e por que funciona.
  • Regra: somar +k a f(x) (isto é, f(x)+k) desloca o gráfico para cima k unidades; subtrair k (isto é, f(x)-k) desloca o gráfico para baixo k unidades.
  • Explicação simples: se (a,\,f(a)) está no gráfico de f, então em y=f(x)+k o mesmo x=a y=f(a)+k. Logo o ponto correspondente é (a,\,f(a)+k): subida vertical de k.

Passo 5

Aplicando a regra vertical ao -2 em f(x+1)-2.
  • O termo -2 indica uma translação vertical para baixo de 2 unidades.

Passo 6

Combinação das duas translações e descrição final do deslocamento.
  • g_{3}(x)=f(x+1)-2 é obtido aplicando duas translações ao gráfico de f:
    1. deslocamento horizontal de 1 unidade para a esquerda (por causa de x+1);
    2. deslocamento vertical de 2 unidades para baixo (por causa do -2).
  • Mapeamento de pontos (fórmula útil na prova): se (a,\,f(a)) é um ponto do gráfico de f, então o ponto correspondente em g_{3} é
(a-1,\,f(a)-2),
porque
g_{3}(a-1)=f((a-1)+1)-2=f(a)-2.

Passo 7

Como executar o desenho na prática (passo a passo para a prova).
  • Pegue o esboço do gráfico de f.
  • Desloque tudo 1 unidade para a esquerda: cada abscissa x vira x-1.
  • Depois deslocue o resultado 2 unidades para baixo: cada ordenada y vira y-2.
  • Observação importante: a ordem (primeiro horizontal depois vertical ou vice‑versa) não altera o resultado final — as translações comutam.

Resposta

O gráfico de g_{3}(x)=f(x+1)-2 é o gráfico de f transladado 1 unidade para a esquerda e 2 unidades para baixo.

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