Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
;
Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente a função
em termos do gráfico de
. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função original é
(conhecida apenas pelo seu gráfico). - A função transformada é
, definida por . - A tarefa: descrever qual translação (deslocamento) do gráfico de
produz o gráfico de .
Passo 2
Entendendo translação horizontal: regra geral e por que funciona.
- Regra famosa: substituir
por em desloca o gráfico de para a direita em unidades; substituir por desloca para a esquerda em unidades. - Explicação passo a passo (geometria de pontos). Seja um ponto qualquer do gráfico de
: . Para ver onde esse ponto vai no gráfico de tomamos
Queremos encontrar um
tal que
. Colocando
obtemos
. Assim o ponto
aparece agora em
. Ou seja, o gráfico inteiro foi deslocado
unidades para a direita. Pela mesma lógica,
corresponde a deslocamento de
unidades para a esquerda (pois tomar
recupera
).
Passo 3
Aplicando a regra ao termo
.
- Aqui
foi substituído por , que corresponde à forma com . - Pelo raciocínio do passo anterior,
é o gráfico de deslocado unidade para a esquerda.
Passo 4
Entendendo translação vertical: regra geral e por que funciona.
- Regra: somar
a (isto é, ) desloca o gráfico para cima unidades; subtrair (isto é, ) desloca o gráfico para baixo unidades. - Explicação simples: se
está no gráfico de , então em o mesmo dá . Logo o ponto correspondente é : subida vertical de .
Passo 5
Aplicando a regra vertical ao
em
.
- O termo
indica uma translação vertical para baixo de unidades.
Passo 6
Combinação das duas translações e descrição final do deslocamento.
-
é obtido aplicando duas translações ao gráfico de : - deslocamento horizontal de
unidade para a esquerda (por causa de ); - deslocamento vertical de
unidades para baixo (por causa do ).
- deslocamento horizontal de
- Mapeamento de pontos (fórmula útil na prova): se
é um ponto do gráfico de , então o ponto correspondente em é
porque
Passo 7
Como executar o desenho na prática (passo a passo para a prova).
- Pegue o esboço do gráfico de
. - Desloque tudo
unidade para a esquerda: cada abscissa vira . - Depois deslocue o resultado
unidades para baixo: cada ordenada vira . - Observação importante: a ordem (primeiro horizontal depois vertical ou vice‑versa) não altera o resultado final — as translações comutam.
Resposta
O gráfico de
é o gráfico de
transladado
unidade para a esquerda e
unidades para baixo.