Em cada um dos itens abaixo use translação para representar geometricamente cada uma das funções dadas.
g_{3}(x)=f(x+3)+5;

Passo 1

O enunciado dá a função g_{3}(x)=f(x+3)+5 e pede: representar geometricamente g_{3} a partir do gráfico de f usando translações.
Informações fornecidas:
  • A expressão de g_{3} em termos de f é g_{3}(x)=f(x+3)+5.
    O que se precisa entregar:
  • A descrição da translação (direção e magnitude) que leva o gráfico de f ao gráfico de g_{3}.

Passo 2

Relação ponto a ponto entre os gráficos (álgebra que explica a translação).
Considere um ponto qualquer do gráfico de f dado por (t,f(t)). Queremos ver onde esse mesmo valor de função aparece no gráfico de g_{3}. Escreve-se
g_{3}(x)=f(x+3)+5.
Faça a substituição t=x+3. Então x=t-3 e
g_{3}(t-3)=f\big((t-3)+3\big)+5=f(t)+5.
Portanto o ponto (t,f(t)) do gráfico de f corresponde ao ponto
\big(t-3,\;f(t)+5\big)
no gráfico de g_{3}.

Passo 3

Interpretação geométrica da relação obtida.
O mapeamento (t,f(t))\mapsto\big(t-3,f(t)+5\big) diz que cada ponto do gráfico de f:
  • tem sua coordenada x reduzida em 3 unidades (passa de t para t-3) — isso é uma translação horizontal de 3 unidades no sentido negativo do eixo x (ou seja, para a esquerda);
  • tem sua coordenada y aumentada em 5 unidades (passa de f(t) para f(t)+5) — isso é uma translação vertical de 5 unidades para cima.

Passo 4

Explicação intuitiva do porquê do sinal invertido na translação horizontal.
Quando aparece x+3 dentro de f(\cdot) está-se avaliando f em um ponto à direita de x; para que o valor de f em t apareça na mesma abscissa x é preciso que x=t-3. Por isso +3 dentro da função provoca deslocamento para a esquerda em 3 unidades. Já o +5 fora de f soma diretamente ao valor de y, deslocando para cima em 5 unidades.

Passo 5

Exemplo numérico concreto (para visualizar).
Se o gráfico de f contém o ponto (2,-1), então, com t=2, o ponto correspondente em g_{3} é
\big(2-3,\; -1+5\big)=(-1,\;4).
Ou seja, o ponto foi movido 3 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima.

Passo 6

Como aplicar na prática para desenhar o gráfico de g_{3}.
Passo-a-passo prático:
  1. Desenhe o gráfico de f.
  2. Desloque todos os pontos do gráfico 3 unidades para a esquerda.
  3. Em seguida, desloque o resultado 5 unidades para cima.
    Observação: a ordem das duas translações não importa — deslocar para cima e depois para a esquerda dá o mesmo resultado.

Passo 7

Consequências sobre interceptos e raízes (para usar na prova).
  • A imagem vertical em x=0 fica g_{3}(0)=f(3)+5, então o intercepto em y de g_{3} é \big(0,f(3)+5\big).
  • Se a satisfaz f(a)=-5 (ou seja, a é solução de f(a)=-5), então x=a-3 será raíz de g_{3}, pois g_{3}(a-3)=f(a)+5=0.

Resposta

O gráfico de g_{3}(x)=f(x+3)+5 é o gráfico de f transladado 3 unidades para a esquerda e 5 unidades para cima.

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