Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
g(x)=-4+x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=-4+x^{2} e pede duas coisas: (1) determinar o domínio e (2) construir o gráfico. Depois pede ainda que se identifique como os gráficos de funções “do mesmo tipo” (a que pertence g) se relacionam. Informações relevantes dadas: a expressão algébrica \,g(x)=-4+x^{2}\,.

Passo 2

Entender o tipo de função e o domínio. A expressão \,g(x)=-4+x^{2}\, é um polinômio (um quadrático). Regra importante: todo polinômio está definido para qualquer número real — não há divisão por zero nem radicais de índice par que causem restrição. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais:
\text{Dom}(g)=\mathbb{R}.

Passo 3

Colocar a função em forma que evidencia o vértice. Escrevendo \,g(x) como um quadrado completado:
g(x)=x^{2}-4=(x-0)^{2}-4.
Isso já está na forma (x-h)^{2}+k com h=0 e k=-4. Essa forma nos dá o vértice da parábola diretamente: vértice em (h,k)=(0,-4).

Passo 4

Decidir abertura da parábola e tipo do extremo. O coeficiente de x^{2} é 1>0, então a parábola abre para cima. Assim o vértice é um ponto de mínimo. O menor valor de g(x) é g(0)=-4, então a imagem (contradomínio/intervalo) é
\text{Im}(g)=[-4,\infty).

Passo 5

Calcular interceptos para desenhar o gráfico.
  • Intercepto em y (quando x=0):
g(0)=-4+0^{2}=-4.
Logo o ponto (0,-4) é o vértice e também o intercepto em y.
  • Interceptos em x (quando g(x)=0). Resolver
x^{2}-4=0.
Isso fatoriza como
(x-2)(x+2)=0,
portanto
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Os interceptos em x são (2,0) e (-2,0).

Passo 6

Simetria e eixo de simetria. A expressão (x-0)^{2}-4 mostra simetria em relação à reta vertical x=0. Assim o eixo de simetria da parábola é a reta x=0 (o eixo y). Pontos simétricos, por exemplo, g(1)=g(-1) e g(2)=g(-2).

Passo 7

Monotonia e comportamento: a parábola é decrescente em (-\infty,0] e crescente em [0,\infty), com mínimo em x=0. Comportamento nas extremidades:
\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=+\infty.

Passo 8

Escolher pontos extras para traçar a curva com precisão. Construir uma tabela simples e calcular valores (sutis contas para fazer sem calculadora):
  • Para x=-3: g(-3)=(-3)^{2}-4=9-4=5.
  • Para x=-2: g(-2)=4-4=0 (já calculado).
  • Para x=-1: g(-1)=1-4=-3.
  • Para x=0: g(0)=-4 (vértice).
  • Para x=1: g(1)=-3.
  • Para x=2: g(2)=0.
  • Para x=3: g(3)=5.
Pontos úteis: (-3,5),(-2,0),(-1,-3),(0,-4),(1,-3),(2,0),(3,5).

Passo 9

Instrução prática para desenhar o gráfico (passo a passo que dá para fazer na prova):
  1. Marque o vértice (0,-4).
  2. Desenhe o eixo de simetria vertical x=0.
  3. Marque os interceptos (-2,0) e (2,0).
  4. Marque os pontos simétricos da tabela (-1,-3),(1,-3),(-3,5),(3,5).
  5. Esboce uma curva suave passando por esses pontos, formando uma parábola que abre para cima. Garanta que a curva seja simétrica em relação a x=0 e que tenha mínimo em (0,-4).

Passo 10

Identificar como se relacionam os gráficos de funções do mesmo tipo. Aqui o “mesmo tipo” são as parábolas da forma x^{2}+k (quadráticas sem termo linear). Regra prática e muito útil:
  • A função básica é y=x^{2}. Ao somar um número k obtém-se y=x^{2}+k, que desloca o gráfico de y=x^{2} verticalmente por k unidades: se k>0 sobe k unidades, se k<0 desce |k| unidades.
  • No caso concreto, g(x)=x^{2}-4 é exatamente o gráfico de y=x^{2} deslocado 4 unidades para baixo (porque k=-4).
    Observações adicionais sobre variações: multiplicar por a (ou seja y=a x^{2}) altera a largura (estica/contrai verticalmente) e o sinal de a inverte a parábola; somar um termo linear (bx) desloca horizontalmente o vértice e pode deslocar verticalmente também — tudo isso são transformações geométricas simples que se combinam.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Gráfico: parábola com vértice em (0,-4), eixo de simetria x=0, interceptos em x em (-2,0) e (2,0), abre para cima e imagem [ -4,\infty).
Relação com gráficos do mesmo tipo: é o gráfico de y=x^{2} deslocado 4 unidades para baixo (geralmente y=x^{2}+k é y=x^{2} deslocado verticalmente por k).

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