Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) determinar o domínio e (2) construir o gráfico. Depois pede ainda que se identifique como os gráficos de funções “do mesmo tipo” (a que pertence
) se relacionam. Informações relevantes dadas: a expressão algébrica
.
Passo 2
Entender o tipo de função e o domínio. A expressão
é um polinômio (um quadrático). Regra importante: todo polinômio está definido para qualquer número real — não há divisão por zero nem radicais de índice par que causem restrição. Portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais:
Passo 3
Colocar a função em forma que evidencia o vértice. Escrevendo
como um quadrado completado:
Isso já está na forma
com
e
. Essa forma nos dá o vértice da parábola diretamente: vértice em
.
Passo 4
Decidir abertura da parábola e tipo do extremo. O coeficiente de
é
, então a parábola abre para cima. Assim o vértice é um ponto de mínimo. O menor valor de
é
, então a imagem (contradomínio/intervalo) é
Passo 5
Calcular interceptos para desenhar o gráfico.
- Intercepto em
(quando ):
Logo o ponto
é o vértice e também o intercepto em
.
- Interceptos em
(quando ). Resolver
Isso fatoriza como
portanto
Os interceptos em
são
e
.
Passo 6
Simetria e eixo de simetria. A expressão
mostra simetria em relação à reta vertical
. Assim o eixo de simetria da parábola é a reta
(o eixo
). Pontos simétricos, por exemplo,
e
.
Passo 7
Monotonia e comportamento: a parábola é decrescente em
e crescente em
, com mínimo em
. Comportamento nas extremidades:
Passo 8
Escolher pontos extras para traçar a curva com precisão. Construir uma tabela simples e calcular valores (sutis contas para fazer sem calculadora):
- Para
: . - Para
: (já calculado). - Para
: . - Para
: (vértice). - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Pontos úteis:
.
Passo 9
Instrução prática para desenhar o gráfico (passo a passo que dá para fazer na prova):
- Marque o vértice
. - Desenhe o eixo de simetria vertical
. - Marque os interceptos
e . - Marque os pontos simétricos da tabela
. - Esboce uma curva suave passando por esses pontos, formando uma parábola que abre para cima. Garanta que a curva seja simétrica em relação a
e que tenha mínimo em .
Passo 10
Identificar como se relacionam os gráficos de funções do mesmo tipo. Aqui o “mesmo tipo” são as parábolas da forma
(quadráticas sem termo linear). Regra prática e muito útil:
- A função básica é
. Ao somar um número obtém-se , que desloca o gráfico de verticalmente por unidades: se sobe unidades, se desce unidades. - No caso concreto,
é exatamente o gráfico de deslocado 4 unidades para baixo (porque ).
Observações adicionais sobre variações: multiplicar por(ou seja ) altera a largura (estica/contrai verticalmente) e o sinal de inverte a parábola; somar um termo linear desloca horizontalmente o vértice e pode deslocar verticalmente também — tudo isso são transformações geométricas simples que se combinam.
Resposta
Domínio:
Gráfico: parábola com vértice em , eixo de simetria
, interceptos em
em
e
, abre para cima e imagem
.
Relação com gráficos do mesmo tipo: é o gráfico de deslocado 4 unidades para baixo (geralmente
é
deslocado verticalmente por
).
Gráfico: parábola com vértice em
Relação com gráficos do mesmo tipo: é o gráfico de