Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
h(x)=4-(x-1)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=4-(x-1)^{2} e pede duas coisas:
  • Determinar o domínio da função.
  • Construir (descrever) o gráfico da função e identificar como esse gráfico se relaciona com os gráficos de outras funções do mesmo tipo.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A expressão algébrica da função é h(x)=4-(x-1)^{2}.

Passo 2

Determinar o domínio: pensar no que pode tornar a função indefinida. Aqui temos a expressão (x-1)^{2} que é um polinômio (na verdade um quadrado), e subtraímos de 4. Polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}, não há divisão por zero, não há raiz par de número negativo nem logaritmo. Portanto a função está definida para todos os reais.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(h)=\mathbb{R}.

Passo 3

Colocar a função numa forma que facilita interpretar o gráfico (forma de vértice). A função já está praticamente na forma de vértice; escrevendo explicitamente:
h(x)=-(x-1)^{2}+4.
A forma geral de uma parábola em forma de vértice é
y=a(x-h)^{2}+k,
onde:
  • a determina a abertura (sinal) e a “largura” (valor absoluto),
  • (h,k) é o vértice da parábola.
Comparando com h(x)=-(x-1)^{2}+4 obtemos:
a=-1,\qquad h=1,\qquad k=4.

Passo 4

Interpretação dos parâmetros (aula rápida):
  • O vértice é (h,k)=(1,4). Esse é o ponto mais alto ou mais baixo, dependendo do sinal de a.
  • Como a=-1<0, a parábola abre para baixo (tem um máximo no vértice).
  • O eixo de simetria é a reta vertical x=h, ou seja x=1.
  • O valor absoluto |a|=1 indica que a “largura” da parábola é a mesma da parábola “pai” y=x^{2} (não há alongamento ou compressão vertical, apenas reflexão por causa do sinal negativo).

Passo 5

Encontrar pontos importantes para desenhar: interceptos e alguns pontos simétricos.
  1. Intercepto em y (quando x=0):
h(0)=4-(0-1)^{2}=4-1=3.
Ponto: (0,3).
  1. Interceptos em x (raízes, quando h(x)=0):
0=4-(x-1)^{2}\quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}=4.
Extraindo raiz:
x-1=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad x=1\pm 2.
Logo x=3 e x=-1. Pontos: (3,0) e (-1,0).
Observe que (-1,0) e (3,0) são simétricos em relação ao eixo x=1, como deve acontecer.

Passo 6

Determinar o contradomínio (ou imagem / alcance, para completar a ideia do gráfico):
  • Como a parábola abre para baixo e o vértice tem ordenada k=4, esse é o valor máximo da função.
  • Para valores de x crescendo em módulo, (x-1)^{2} cresce sem limite, portanto h(x)=4-(x-1)^{2} tende a -\infty.
Conclusão sobre a imagem:
\text{Im}(h)=(-\infty,4].

Passo 7

Como desenhar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova, sem calculadora):
  1. Marcar o vértice (1,4).
  2. Traçar a reta vertical x=1 como eixo de simetria (linha auxiliar).
  3. Marcar os interceptos que calculamos: (0,3), (-1,0) e (3,0). Note que (0,3) fica entre o vértice e o zero da direita/ esquerda.
  4. Desenhar uma curva suave que passa pelo vértice e pelos pontos marcados, abrindo para baixo, simétrica em relação a x=1. Como |a|=1, a curvatura tem “largura padrão” (mesma do y=x^{2}), apenas invertida verticalmente e deslocada.
  5. Se quiser mais pontos, calcule por exemplo h(2)=4-(2-1)^{2}=4-1=3, que confirma a simetria: (2,3) espelha (0,3).

Passo 8

Identificação da relação com o gráfico da função do mesmo tipo (parábola padrão y=x^{2}) — uma mini-aula de transformações:
  • A função pai é y=x^{2} com vértice em (0,0).
  • Para obter h(x)=-(x-1)^{2}+4 a sequência de transformações é:
    1. y=x^{2} —> y=(x-1)^{2}: translação horizontal de 1 unidade para a direita (o vértice vai de (0,0) para (1,0)).
    2. y=(x-1)^{2} —> y=-(x-1)^{2}: reflexão em relação ao eixo x (a parábola passa a abrir para baixo; vértice permanece em (1,0)).
    3. y=-(x-1)^{2} —> y=-(x-1)^{2}+4: translação vertical de 4 unidades para cima (vértex vai de (1,0) para (1,4)).
  • Em termos gerais, qualquer função da forma y=a(x-h)^{2}+k:
    • tem vértice (h,k),
    • eixo de simetria x=h,
    • abre para cima se a>0 e para baixo se a<0,
    • é mais “fina” quando |a|>1 (esticada verticalmente) e mais “larga” quando 0<|a|<1 (comprimida verticalmente),
    • no caso presente |a|=1 então a largura é igual à de y=x^{2}.

Passo 9

Resumo final em palavras amigáveis (para te dar segurança na prova):
  • Domínio: todos os números reais.
  • Vértice (1,4) (máximo), parábola abre para baixo, eixo de simetria x=1.
  • Interceptos: (-1,0), (3,0) e intercepto em y em (0,3).
  • Transformação a partir de y=x^{2}: mover 1 para a direita, refletir sobre o eixo x, subir 4 unidades.

Resposta

\text{Dom}(h)=\mathbb{R}
\text{Vértice }(1,4),\; \text{eixo de simetria }x=1,\; \text{abre para baixo }(a=-1),\; \text{imagem }(-\infty,4].é
Relação com y=x^{2}: translação 1 à direita, reflexão em relação ao eixo x, translação 4 para cima.

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