Determine o domínio e construa o gráfico das seguintes funções. A seguir identifique como estão relacionados os gráficos das funções do mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar o domínio da função.
- Construir (descrever) o gráfico da função e identificar como esse gráfico se relaciona com os gráficos de outras funções do mesmo tipo.
Informações fornecidas explicitamente:
- A expressão algébrica da função é
.
Passo 2
Determinar o domínio: pensar no que pode tornar a função indefinida. Aqui temos a expressão
que é um polinômio (na verdade um quadrado), e subtraímos de
. Polinômios estão definidos para todo
, não há divisão por zero, não há raiz par de número negativo nem logaritmo. Portanto a função está definida para todos os reais.
Conclusão do domínio:
Passo 3
Colocar a função numa forma que facilita interpretar o gráfico (forma de vértice). A função já está praticamente na forma de vértice; escrevendo explicitamente:
A forma geral de uma parábola em forma de vértice é
onde:
-
determina a abertura (sinal) e a “largura” (valor absoluto), -
é o vértice da parábola.
Comparando com
obtemos:
Passo 4
Interpretação dos parâmetros (aula rápida):
- O vértice é
. Esse é o ponto mais alto ou mais baixo, dependendo do sinal de . - Como
, a parábola abre para baixo (tem um máximo no vértice). - O eixo de simetria é a reta vertical
, ou seja . - O valor absoluto
indica que a “largura” da parábola é a mesma da parábola “pai” (não há alongamento ou compressão vertical, apenas reflexão por causa do sinal negativo).
Passo 5
Encontrar pontos importantes para desenhar: interceptos e alguns pontos simétricos.
- Intercepto em
(quando ):
Ponto:
.
- Interceptos em
(raízes, quando ):
Extraindo raiz:
Logo
e
. Pontos:
e
.
Observe que
e
são simétricos em relação ao eixo
, como deve acontecer.
Passo 6
Determinar o contradomínio (ou imagem / alcance, para completar a ideia do gráfico):
- Como a parábola abre para baixo e o vértice tem ordenada
, esse é o valor máximo da função. - Para valores de
crescendo em módulo, cresce sem limite, portanto tende a .
Conclusão sobre a imagem:
Passo 7
Como desenhar o gráfico (passo a passo prático para fazer na prova, sem calculadora):
- Marcar o vértice
. - Traçar a reta vertical
como eixo de simetria (linha auxiliar). - Marcar os interceptos que calculamos:
, e . Note que fica entre o vértice e o zero da direita/ esquerda. - Desenhar uma curva suave que passa pelo vértice e pelos pontos marcados, abrindo para baixo, simétrica em relação a
. Como , a curvatura tem “largura padrão” (mesma do ), apenas invertida verticalmente e deslocada. - Se quiser mais pontos, calcule por exemplo
, que confirma a simetria: espelha .
Passo 8
Identificação da relação com o gráfico da função do mesmo tipo (parábola padrão
) — uma mini-aula de transformações:
- A função pai é
com vértice em . - Para obter
a sequência de transformações é: -
—> : translação horizontal de unidade para a direita (o vértice vai de para ). -
—> : reflexão em relação ao eixo (a parábola passa a abrir para baixo; vértice permanece em ). -
—> : translação vertical de unidades para cima (vértex vai de para ).
-
- Em termos gerais, qualquer função da forma
: - tem vértice
, - eixo de simetria
, - abre para cima se
e para baixo se , - é mais “fina” quando
(esticada verticalmente) e mais “larga” quando (comprimida verticalmente), - no caso presente
então a largura é igual à de .
- tem vértice
Passo 9
Resumo final em palavras amigáveis (para te dar segurança na prova):
- Domínio: todos os números reais.
- Vértice
(máximo), parábola abre para baixo, eixo de simetria . - Interceptos:
, e intercepto em em . - Transformação a partir de
: mover 1 para a direita, refletir sobre o eixo , subir 4 unidades.
Resposta
Relação com