Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty (-1)^n e^1 / nn^3

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência absoluta da série
sumn=1^infty (-1)^ne^1/nn^3
usando os testes da razão ou da raíz. Vamos lembrar que, para testar convergência absoluta, estudamos a série de termos positivos
bn = l|anr| = e^1/nn^3,
e aplicamos o teste da razão e/ou o teste da raíz.

Passo 2

Aplicando o teste da razão a bn, calculamos
L ;=;limntoinftybn+1bn =limntoinfty e^1/(n+1)/(n+1)^3e^1/n/n^3 =limntoinftyl(nn+1r)^3 expl(tfrac1n+1-tfrac1nr)
Como l(tfracnn+1r)^3to1 e exp(tfrac1n+1-tfrac1n)to1, obtemos
L = 1
Quando L=1, o teste da razão é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando o teste da raíz a bn, calculamos
L' ;=;limntoinftyl(bnr)^1/n =limntoinfty e^1/n^2n^3/n =e^01 =1
Também obtemos L'=1, então o teste da raíz é inconclusivo.

Passo 4

Como ambos os testes deram 1 e não decidiram nada, recorremos ao teste da comparação. Note que, para todo n>=1,
e^1/n<= e,
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0 <= bn = e^1/nn^3 <= en^3
E a série
sumn=1^infty en^3 = esumn=1^infty1n^3
é convergente (série p com p=3>1). Pelo teste da comparação, sum bn converge.

Resposta

A série sumn=1^infty tfrac(-1)^ne^1/nn^3 converge absolutamente.

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