Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
Passo 1
O enunciado pede para investigar a convergência absoluta da série
usando os testes da razão ou da raíz. Vamos lembrar que, para testar convergência absoluta, estudamos a série de termos positivos
e aplicamos o teste da razão e/ou o teste da raíz.
Passo 2
Aplicando o teste da razão a
bn , calculamos
Como
l(tfracnn+1r)^3to1 e
exp(tfrac1n+1-tfrac1n)to1 , obtemos
Quando
L=1 , o teste da razão é inconclusivo.
Passo 3
Aplicando o teste da raíz a
bn , calculamos
Também obtemos
L'=1 , então o teste da raíz é inconclusivo.
Passo 4
Como ambos os testes deram
1 e não decidiram nada, recorremos ao teste da comparação. Note que, para todo
n>=1 ,
logo
E a série
é convergente (série
p com
p=3>1 ). Pelo teste da comparação,
sum bn converge.
Resposta
A série
sumn=1^infty tfrac(-1)^ne^1/nn^3 converge absolutamente.