Em cada um dos itens abaixo, verifique se a EDO dada é exata; em caso afirmativo, resolva a EDO.
(e^x+y) d x+(2+x+y e^y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=e^x+y, N(x,y)=2+x+y,e^y
O conteúdo é de equações exatas: vamos verificar se partial M/partial y=partial N/partial x. Se for exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N, e a solução geral é phi(x,y)=C.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(e^x+y) =1,
partial Npartial x =partialpartial x(2+x+y,e^y) =1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos phi(x,y) satisfazendo phix=M. Integramos M em x:
phi(x,y) =integral (e^x+y),dx =e^x + x,y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora exigimos phiy=N. Diferenciando em y:
phiy =partialpartial yl(e^x + x,y + h(y)r) =x + h'(y)
Devemos ter
x + h'(y) =N(x,y) =2 + x + y,e^y,
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h'(y)=2 + y,e^y
Integramos em y:
h(y) =integrall(2 + y,e^yr),dy =2y + l(y-1r)e^y + const

Passo 5

Substituindo h(y) em phi, obtemos a função potencial
phi(x,y) =e^x + x,y + 2y + (y-1),e^y
A solução geral implícita é
phi(x,y)=C,
ou seja,
e^x + x,y + 2y + (y-1),e^y = C

Resposta

e^x + x,y + 2y + (y-1),e^y = C

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