Seja f(x, y)=llx y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0). Mostre que partial^2 fpartial x partial y(0,0) neq partial^2 fpartial y partial x(0,0). Explique porque isso não contradiz o Teorema de Clairaut.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx,y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que
partial^2fpartial xpartial y(0,0)neq partial^2fpartial ypartial x(0,0).
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e derivadas cruzadas no ponto (0,0) via definição de limite, e depois discutir o Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas quando elas são contínuas num entorno).

Passo 2

Vamos calcular fx.
Primeiro, por definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente sobre
f(x,y)=x,y^3x^2+y^2.
O numerador é N=x,y^3 e o denominador D=x^2+y^2, logo
fx(x,y) =y^3D - Ncdot 2xD^2 =y^3(x^2+y^2)-2x^2y^3(x^2+y^2)^2 =y^3(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2
Em particular, para x=0 e yneq0,
fx(0,y) =y^3(y^2-0)(0+y^2)^2 =y^5y^4 =y

Passo 3

Agora fy.
Por definição,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0
Para (x,y)neq(0,0) aplicamos quociente a N=x,y^3, D=x^2+y^2:
fy(x,y) =3x,y^2D - Ncdot 2yD^2 =3x,y^2(x^2+y^2)-2x,y^4(x^2+y^2)^2 =x,y^2(3x^2+y^2)(x^2+y^2)^2
Em particular, para y=0 e xneq0,
fy(x,0) =xcdot0^2(3x^2+0)(x^2+0)^2=0

Passo 4

Calculamos as mistas no ponto (0,0) por definição:
1. fxy(0,0) =partialpartial xl[fy(x,0)r]x=0 =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto00-0h=0 2. fyx(0,0) =partialpartial yl[fx(0,y)r]y=0 =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto0k-0k=1

Passo 5

Concluímos que
fxy(0,0)=0 e fyx(0,0)=1,
logo não são iguais. Isso não contradiz o Teorema de Clairaut porque, para aplicar esse teorema, é preciso que as derivadas parciais mistas sejam contínuas num entorno de (0,0). Aqui fxy e fyx não são contínuas em torno de (0,0), portanto a hipótese de regularidade C^2 falha.

Resposta

fxy(0,0)=0,\quad fyx(0,0)=1.

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