Seja . Mostre que partial^2 fpartial x partial y(0,0) neq partial^2 fpartial y partial x(0,0). Explique porque isso não contradiz o Teorema de Clairaut.
e pede para mostrar que partial^2fpartial xpartial y(0,0)neq partial^2fpartial ypartial x(0,0).
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e derivadas cruzadas no ponto (0,0) via definição de limite, e depois discutir o Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas mistas quando elas são contínuas num entorno).
Passo 2
Vamos calcular fx.
Primeiro, por definição,
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0
Para (x,y)neq(0,0) usamos a regra do quociente sobre f(x,y)=x,y^3x^2+y^2.
O numerador é N=x,y^3 e o denominador D=x^2+y^2, logo
Calculamos as mistas no ponto (0,0) por definição: 1. fxy(0,0) =partialpartial xl[fy(x,0)r]x=0 =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto00-0h=0 2. fyx(0,0) =partialpartial yl[fx(0,y)r]y=0 =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto0k-0k=1
Passo 5
Concluímos que fxy(0,0)=0 e fyx(0,0)=1,
logo não são iguais. Isso não contradiz o Teorema de Clairaut porque, para aplicar esse teorema, é preciso que as derivadas parciais mistas sejam contínuas num entorno de (0,0). Aqui fxy e fyx não são contínuas em torno de (0,0), portanto a hipótese de regularidade C^2 falha.