Usando o teste da raiz, mostre que a série sumn=1^+infty 1[ln (n+1)]^n é convergente.

Passo 1

Resumindo, queremos verificar a convergência da série sumn=1^infty 1[ln(n+1)]^n usando o teste da raiz. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar da definição do teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

O teste da raiz afirma que se
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|,
então a série converge absolutamente quando L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 3

Identificamos o termo geral
an = 1[ln(n+1)]^n
Agora calculamos a n-ésima raiz de an:
raiz[n]an = raiz[n]1[ln(n+1)]^n = 1ln(n+1)

Passo 4

Em seguida, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty 1ln(n+1) = 0

Passo 5

Como obtivemos L=0<1, concluímos que a série converge absolutamente pelo teste da raiz.

Resposta

A série converge absolutamente (portanto, converge) pelo teste da raiz, pois limsupntoinfty raiz[n]an = 0 < 1.

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