Em cada um dos itens, calcular a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X), usando a f.d.p da variável aleatória.
Calcule E(X) e \operatorname{Var}(X), se X tem tem uma função densidade dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{cr}\frac{1}{4} x e^{\frac{-x}{2}}, & \text { se } \quad x>0, \\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{array}\right.á

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de X\) em \([0,\infty)\): \[f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4}\,x\,e^{-x/2},&x>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Queremos calcular a esperança E(X)\] e a variância \(\operatorname{Var}(X) usando integrais impróprias. Para isso vamos precisar conhecer a integral
\int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x/2}\,dx
que pode ser obtida por substituição ou pela função Gama.

Passo 2

Calculando a esperança:
E(X)=\int_{0}^{\infty}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{\infty}x\;\frac{1}{4}\,x\,e^{-x/2}\,dx =\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x/2}\,dx.
Fazendo a substituição u=x/2, então x=2u e dx=2\,du, temos
\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x/2}\,dx =\int_{0}^{\infty}(2u)^{2}e^{-u}(2\,du) =8\int_{0}^{\infty}u^{2}e^{-u}\,du =8\,\Gamma(3) =8\cdot 2! =16.
Logo
E(X)=\frac{1}{4}\times16=4.

Passo 3

Calculando E(X^{2}):
E(X^{2})=\int_{0}^{\infty}x^{2}f(x)\,dx =\frac{1}{4}\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-x/2}\,dx.
Usando a mesma substituição u=x/2:
\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-x/2}\,dx =\int_{0}^{\infty}(2u)^{3}e^{-u}(2\,du) =16\int_{0}^{\infty}u^{3}e^{-u}\,du =16\,\Gamma(4) =16\cdot3! =96.
Portanto
E(X^{2})=\frac{1}{4}\times96=24.

Passo 4

A variância é
\operatorname{Var}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2} =24-4^{2} =24-16 =8.

Resposta

E(X)=4
\operatorname{Var}(X)=8

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