Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\frac{(2+x)}{4}, & -2 \leq x<0, \\\ \frac{(2-x)}{4}, & 0 \leq x \leq 2 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a função
f(x)= \begin{cases} \frac{2+x}{4},&-2\le x<0,\\\ \frac{2-x}{4},&0\le x\le2, \end{cases}
que vale zero fora de [-2,2]. Para ser função densidade de probabilidade, precisamos mostrar:
  1. f(x)\ge0 para todo x.
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.

Passo 2

Verificando a não-negatividade:
  • Se -2\le x<0, então 2+x\ge0, logo
f(x)=\frac{2+x}{4}\ge0.
  • Se 0\le x\le2, então 2-x\ge0, logo
f(x)=\frac{2-x}{4}\ge0.
Fora de [-2,2], f(x)=0\ge0.

Passo 3

Verificando a normalização:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{-2}^{0}\frac{2+x}{4}\,dx +\int_{0}^{2}\frac{2-x}{4}\,dx.
Calculemos cada parte:
\int_{-2}^{0}\frac{2+x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\Bigl[2x+\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-2}^{0} =\frac{1}{4}\bigl(0-(-4+2)\bigr) =\frac{2}{4} =\frac12,
\int_{0}^{2}\frac{2-x}{4}\,dx =\frac{1}{4}\Bigl[2x-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{4}(4-2) =\frac{2}{4} =\frac12.
Somando,
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\frac12+\frac12 =1.

Passo 4

Como f(x)\ge0 em todo o domínio e a integral total vale 1, concluímos que f é função densidade de probabilidade.

Resposta

Sim, f(x) é função densidade de probabilidade.

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