Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade(assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados)
f(x)=\frac{x-3}{2}, 3 \leqslant x \leqslant 5.

Passo 1

O enunciado apresenta a função
f(x)=\frac{x-3}{2},\quad 3\le x\le5,
e pede para verificar se ela é uma função densidade de probabilidade. Para isso precisamos checar duas propriedades:
  1. f(x)\ge0 em todo o seu domínio.
  2. \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1.

Passo 2

Verificamos a não negatividade em 3\le x\le5: como x-3\ge0 nesse intervalo, segue que
f(x)=\frac{x-3}{2}\ge0.

Passo 3

Calculamos a integral de normalização, lembrando que f(x)=0 fora de [3,5]:
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx =\int_{3}^{5}\frac{x-3}{2}\,dx =\frac12\int_{3}^{5}(x-3)\,dx.
Como
\int_{3}^{5}(x-3)\,dx =\left[\frac{(x-3)^2}{2}\right]_{3}^{5} =\frac{(5-3)^2}{2}-0 =\frac{4}{2}=2,
temos
\frac12\cdot2=1.

Resposta

Sim, f(x)=\frac{x-3}{2} em 3\le x\le5 é uma função densidade de probabilidade.

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