Em cada um dos itens, calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x).
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2 x+1, & \text { se } & x \geq 1 \\\ x-3, & \text { se } & x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to 1} f(x), onde a função é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 2x+1, & \text{se} & x\ge 1,\\[4pt] x-3, & \text{se} & x<1. \end{array}\right.
Informações relevantes que temos a partir do enunciado:
  • Para valores de x estritamente menores que 1 usamos a regra f(x)=x-3.
  • Para valores de x maiores ou iguais a 1 usamos a regra f(x)=2x+1.
  • Em particular, a partir da regra do ramo x\ge 1 obtemos f(1)=2\cdot 1+1=3. (Isso é o valor da função em x=1, informação dada pela definição por partes.)]

Passo 2

Conceito importante: o limite \lim_{x\to 1} f(x) existe se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita existirem e forem iguais. Vamos definir:
  • Limite pela esquerda: \displaystyle \lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1,\,x<1} f(x).
  • Limite pela direita: \displaystyle \lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1,\,x>1} f(x).
Regra prática usada aqui: quando estamos calculando um limite lateral e a função no intervalo onde nos aproximamos é uma expressão polinomial (ou linear), podemos avaliar o limite simplesmente substituindo x pelo ponto, porque polinômios e funções lineares são contínuos — isto é, o limite iguala o valor da função naquele ponto do ramo.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Quando x\to 1^- estamos na região x<1, onde f(x)=x-3. Logo
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1} (x-3).
Como x-3 é contínua, basta substituir x=1:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=1-3=-2.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Quando x\to 1^+ estamos na região x\ge 1, onde f(x)=2x+1. Logo
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1} (2x+1).
Substituindo x=1 (função linear, contínua):
\lim_{x\to 1^+} f(x)=2\cdot 1+1=3.

Passo 5

Comparação dos limites laterais: encontramos
\lim_{x\to 1^-} f(x)=-2\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^+} f(x)=3.
Como os limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 1} f(x) não existe. Observação final e motivacional: mesmo que f(1)=3, isso não altera o fato de que o limite não existe se os dois lados não coincidem — na prova lembre-se de sempre checar os dois lados em funções definidas por partes.

Resposta

Não existe.

Exercícios relacionados