Em cada um dos itens, calcule \lim _{x \rightarrow 1} f(x).
f(x)=\left\{\begin{array}{lll}4-x^{2}, & \text { se } & x \geq 1 \\\\ 2+x^{2}, & \text { se } & x<1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to 1} f(x)\), onde \(f\) é a função definida por partes \[f(x)=\begin{cases} 4-x^{2}, & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] 2+x^{2}, & \text{se } x<1. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • Para aproximações de x\] pela direita de \(1 (isto é, x\to1^+), os valores de x satisfazem x\ge1, logo devemos usar a expressão 4-x^{2}.
  • Para aproximações de x pela esquerda de 1 (isto é, x\to1^-), os valores de x satisfazem x<1, logo devemos usar a expressão 2+x^{2}.
  • A pergunta é apenas o valor do limite quando x tende a 1 (ou seja, o limite bilateral), portanto precisamos verificar se os limites laterais coincidem.]

Passo 2

Breve ideia (didática) do que vamos fazer: para uma função definida por partes, o limite \lim_{x\to 1} f(x) existe se, e somente se, as duas quantidades
\lim_{x\to 1^-} f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to 1^+} f(x)
existirem e forem iguais. Vou calcular cada uma separadamente. Observação útil: polinômios (como 4-x^{2} e 2+x^{2}) são funções contínuas em todo ponto, o que significa que o limite quando x tende a um ponto pode ser obtido simplesmente substituindo o valor do ponto na expressão (por exemplo, \lim_{x\to a} (x^{2}) = a^{2}). Isso nos poupa passos de aproximação: podemos avaliar diretamente em x=1 nas expressões apropriadas.

Passo 3

Calcular o limite pela direita:
\lim_{x\to 1^+} f(x)=\lim_{x\to 1^+} (4-x^{2}).
Pelo comentário anterior (continuidade do polinômio), basta substituir x=1:
\lim_{x\to 1^+} (4-x^{2}) = 4 - 1^{2} = 4 - 1 = 3.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (2+x^{2}).
Substituindo x=1 na expressão (continuidade do polinômio):
\lim_{x\to 1^-} (2+x^{2}) = 2 + 1^{2} = 2 + 1 = 3.

Passo 5

Comparando os limites laterais: \lim_{x\to 1^-} f(x)=3 e \lim_{x\to 1^+} f(x)=3. Como são iguais, o limite bilateral existe e vale esse mesmo valor. Como observação extra (útil na prova): f(1) também vale 3, porque para x\ge1 a definição é 4-x^{2} e f(1)=4-1^{2}=3; portanto a função é contínua em x=1.

Resposta

3

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