Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada dessa função em relação a
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
.
O objetivo é encontrar(ou ).
Passo 2
Identificar a estrutura da função: ela é uma composição de duas funções (uma dentro da outra). Vamos separar em “interna” e “externa”:
- Função interna:
. - Função externa:
.
Então.
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar (Regra da Cadeia). Ela diz o seguinte:
Se , então
Se
Explicando de forma simples: primeiro derivamos a função de fora como se a variável fosse
(ou seja, encontramos
), e depois multiplicamos pelo derivado da função de dentro
. É como “pegar o ritmo” da função externa e ajustar pelo ritmo da função interna.
Passo 4
Calcular os derivadas parciais:
- Derivada da função externa em relação a
: a derivada de é . Ou seja,
- Derivada da função interna em relação a
: tem derivada
Passo 5
Aplicar a Regra da Cadeia substituindo
:
Agora substituir
:
Passo 6
Interpretação rápida e exemplo para fixar: sempre que tiver
a derivada será
. Por exemplo, se
então
. Isso vem exatamente da mesma aplicação da Regra da Cadeia.