Determine a derivada das funções abaixo:
y=\operatorname{sen}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\operatorname{sen}(2x) e pede a derivada dessa função em relação a x.
Informações fornecidas:
  • A função é y=\operatorname{sen}(2x).
    O objetivo é encontrar \dfrac{dy}{dx} (ou y').

Passo 2

Identificar a estrutura da função: ela é uma composição de duas funções (uma dentro da outra). Vamos separar em “interna” e “externa”:
  • Função interna: u(x)=2x.
  • Função externa: f(u)=\operatorname{sen}(u).
    Então y=f(u(x))=\operatorname{sen}(u(x)).

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar (Regra da Cadeia). Ela diz o seguinte:
Se y=f(g(x)), então
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Explicando de forma simples: primeiro derivamos a função de fora como se a variável fosse u (ou seja, encontramos f'(u)), e depois multiplicamos pelo derivado da função de dentro g'(x). É como “pegar o ritmo” da função externa e ajustar pelo ritmo da função interna.

Passo 4

Calcular os derivadas parciais:
  • Derivada da função externa em relação a u: a derivada de \operatorname{sen}(u) é \operatorname{cos}(u). Ou seja,
f'(u)=\operatorname{cos}(u).
  • Derivada da função interna em relação a x: u(x)=2x tem derivada
u'(x)=2.

Passo 5

Aplicar a Regra da Cadeia substituindo u=u(x)=2x:
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=\operatorname{cos}\bigl(u(x)\bigr)\cdot 2.
Agora substituir u(x)=2x:
\frac{dy}{dx}=2\operatorname{cos}(2x).

Passo 6

Interpretação rápida e exemplo para fixar: sempre que tiver \operatorname{sen}(a x) a derivada será a\operatorname{cos}(a x). Por exemplo, se y=\operatorname{sen}(3x) então y'=3\operatorname{cos}(3x). Isso vem exatamente da mesma aplicação da Regra da Cadeia.

Resposta

2\operatorname{cos}(2x)

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