Determine a derivada das funções abaixo:
f(x)=4 \cdot \cos \left(x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=4\cdot\cos\!\left(x^{3}\right).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=4\cos(x^{3}).
  • Precisa-se de f'(x), a derivada em relação a x.
    Nada mais foi fornecido; a função está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem simples):
  • Regra do fator constante: se k é constante e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(k\cdot g(x)\bigr)=k\cdot g'(x).
Isto significa: a constante sai na frente da derivada.
  • Derivada do cosseno: para a função h(u)=\cos(u) (com u qualquer expressão), vale
\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Ou seja, derivar \cos -\sin.
  • Regra da cadeia (para composição): se g(x)=H(U(x)), ou seja, g é uma composição da função externa H com a interna U, então
g'(x)=H'\bigl(U(x)\bigr)\cdot U'(x).
Explicando com palavras: deriva-se a função de fora avaliando-a na função de dentro e multiplica-se pela derivada da função de dentro.

Passo 3

Identificar a estrutura da função dada como uma composição multiplicada por uma constante:
  • A constante é 4.
  • A função composta é \cos\bigl(x^{3}\bigr).
Vou aplicar primeiro a regra do fator constante: mantenho o 4 e derivo \cos(x^{3}).

Passo 4

Detalhe da composição (para aplicar a regra da cadeia):
  • Função externa H(u)=\cos(u).
  • Função interna U(x)=x^{3}.
Calcule as derivadas de cada uma:
  • Pela regra do cosseno,
H'(u)=-\sin(u).
  • Pela regra das potências, para U(x)=x^{3},
U'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia para \cos(x^{3}):
\frac{d}{dx}\cos\bigl(x^{3}\bigr)=H'\bigl(U(x)\bigr)\cdot U'(x) = -\sin\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}.
Usando também a regra do fator constante (o 4 na frente), obtemos a derivada de f em forma de produto:
f'(x)=4\cdot\bigl(-\sin(x^{3})\bigr)\cdot 3x^{2}.
Se quiser pensar rápido na prova: identifique “fora” = \cos e “dentro” = x^{3}; derive fora (vira -\sin) e multiplique pela derivada de dentro (vira 3x^{2}), e não esqueça do 4 que ficou na frente.

Resposta

-12x^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr)

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