Determine a derivada das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se de
, a derivada em relação a .
Nada mais foi fornecido; a função está definida para todo.
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadas de forma bem simples):
- Regra do fator constante: se
é constante e é diferenciável, então
Isto significa: a constante sai na frente da derivada.
- Derivada do cosseno: para a função
(com qualquer expressão), vale
Ou seja, derivar
dá
.
- Regra da cadeia (para composição): se
, ou seja, é uma composição da função externa com a interna , então
Explicando com palavras: deriva-se a função de fora avaliando-a na função de dentro e multiplica-se pela derivada da função de dentro.
Passo 3
Identificar a estrutura da função dada como uma composição multiplicada por uma constante:
- A constante é
. - A função composta é
.
Vou aplicar primeiro a regra do fator constante: mantenho o
e derivo
.
Passo 4
Detalhe da composição (para aplicar a regra da cadeia):
- Função externa
. - Função interna
.
Calcule as derivadas de cada uma:
- Pela regra do cosseno,
- Pela regra das potências, para
,
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia para
:
Usando também a regra do fator constante (o
na frente), obtemos a derivada de
em forma de produto:
Se quiser pensar rápido na prova: identifique “fora” =
e “dentro” =
; derive fora (vira
) e multiplique pela derivada de dentro (vira
), e não esqueça do
que ficou na frente.