Em cada um dos itens, considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
reta
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: a região
é limitada pelas curvas
e a giramos em torno da reta
. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução; vamos usar o método dos discos (ou anéis) integrando em
, pois para cada
o intervalo em
gira gerando um círculo.
Passo 2
Determinar os limites em
: na interseção de
e
vem
Logo a região se estende de
a
.
Passo 3
Para um
fixo, o segmento horizontal vai de
até
. Ao girar em torno de
, o ponto
fica no eixo (raio interno zero) e o ponto
fica à distância
do eixo. Assim cada seção transversal tem área
Passo 4
O volume é dado pela integral
Como o integrando é função par, podemos dobrar a integral de
a
:
Passo 5
Expandindo e calculando:
Portanto