Em cada um dos itens, considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: x=y^2, x=1;
E: reta x=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a região R é limitada pelas curvas
x = y^2 e x = 1,
e a giramos em torno da reta x=1. O conteúdo aqui é volume de sólidos de revolução; vamos usar o método dos discos (ou anéis) integrando em y, pois para cada y o intervalo em x gira gerando um círculo.

Passo 2

Determinar os limites em y: na interseção de x=y^2 e x=1 vem
y^2 = 1 Longrightarrow y = pm1
Logo a região se estende de y=-1 a y=1.

Passo 3

Para um y fixo, o segmento horizontal vai de x=y^2 até x=1. Ao girar em torno de x=1, o ponto (1,y) fica no eixo (raio interno zero) e o ponto (y^2,y) fica à distância
R(y)=1 - y^2
do eixo. Assim cada seção transversal tem área
A(y)=pil(R(y)r)^2 = pi,(1 - y^2)^2

Passo 4

O volume é dado pela integral
V = integraly=-1^1 A(y),dy = integral-1^1 pi,(1 - y^2)^2,dy
Como o integrando é função par, podemos dobrar a integral de 0 a 1:
V = 2pi integral0^1 (1 - y^2)^2,dy

Passo 5

Expandindo e calculando:
integral0^1(1 - y^2)^2,dy = integral0^1(1 - 2y^2 + y^4),dy = l[y - tfrac2y^33 + tfracy^55r]0^1 = 1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac815
Portanto
V = 2pi cdot tfrac815 = tfrac16pi15

Resposta

16pi15

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