Em cada um dos itens determine: (a) o polinômio característico de A, (b) os autovalores de A, e (c) um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de A. (d) A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine P tal que P^-1 A P seja diagonal.
A=(rrr-3 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2).

Passo 1

O enunciado pede que, para
A=-3 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2,
a) achemos o polinômio característico de A,
b) seus autovalores,
c) um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes e
d) verifiquemos se A é diagonalizável, obtendo P tal que P^-1AP seja diagonal.

Passo 2

Vamos calcular
p(lambda)=det(A-lambda I) =det-3-lambda & 1 & -1 2 & 5-lambda & -2 1 & 1 & 2-lambda
Expandindo por cofactores na primeira linha e simplificando, obtemos
p(lambda)=lambda^3-4lambda^2-10lambda+39

Passo 3

Procuramos raízes inteiras em pm1,pm3,pm13,pm39.
Verifica-se
p(3)=27-36-30+39=0,
logo lambda=3 é autovalor. Fazendo a divisão de polinômios por (lambda-3) vem
lambda^3-4lambda^2-10lambda+39=(lambda-3)l(lambda^2-lambda-13r)
e as raízes de lambda^2-lambda-13=0 são
lambda2,3 =1pmraiz1+522 =1pmraiz532

Passo 4

Autovetor para lambda1=3: solve (A-3I)v=0. O sistema leva a
x=0, y-z=0,
de modo que um vetor é
v1=011

Passo 5

Autovetor para lambda2=1+raiz532: resolvendo (A-lambda2 I)v=0 obtemos, por exemplo, tomando x=2,
y=2l(7+raiz53r), z=7+raiz53,
logo
v2=22(7+raiz53)7+raiz53
De modo análogo, para lambda3=1-raiz532 um autovetor é
v3=22(7-raiz53)7-raiz53

Passo 6

Como temos três autovalores reais distintos, diml(spanv1,v2,v3r)=3 e A é diagonalizável. Se montamos
P=l[v1;v2;v3r] = 0 & 2 & 2 1 & 2(7+raiz53) & 2(7-raiz53) 1 & 7+raiz53 & 7-raiz53 ,
então
P^-1AP = 3 & 0 & 0 0 & dfrac1+raiz532 & 0 0 & 0 & dfrac1-raiz532

Resposta

(a) p(lambda)=lambda^3-4lambda^2-10lambda+39
(b) lambda1=3, lambda2,3=1pmraiz532
(c) Um conjunto máximo de autovetores é
v1=(0,1,1)^T, v2=l(2,,2(7+raiz53),,7+raiz53r)^T, v3=l(2,,2(7-raiz53),,7-raiz53r)^T
(d) Sim, A é diagonalizável. Uma matriz P tal que
,P^-1AP=diagl(3,,(1+raiz53)/2,,(1-raiz53)/2r) é
P= 0 & 2 & 2 1 & 2(7+raiz53) & 2(7-raiz53) 1 & 7+raiz53 & 7-raiz53

Exercícios relacionados