Em cada um dos itens determine: (a) todos os autovalores de A e os correspondentes autovetores; (b) uma matriz P tal que D=P^-1 A P seja diagonal.
A=(rr5 & 6 3 & -2)

Passo 1

O enunciado pede (a) todos os autovalores de
A=5 & 63 & -2
e os autovetores correspondentes, e (b) uma matriz P tal que
D=P^-1AP
seja diagonal. O conteúdo aqui é a teoria de autovalores e autovetores de matrizes 2times2 e diagonalização.

Passo 2

Começamos calculando o polinômio característico de A, que é
det(A-lambda I) =det5-lambda & 63 & -2-lambda =(5-lambda)(-2-lambda)-6cdot3
Fazendo as contas:
(5-lambda)(-2-lambda)-18 =lambda^2-3lambda-10-18 =lambda^2-3lambda-28

Passo 3

Resolvendo
lambda^2-3lambda-28=0
usamos a fórmula de Bhaskara:
lambda=3pmraiz9+1122 =3pm112
Logo os autovalores são
lambda1=7, lambda2=-4

Passo 4

Para resolvemos :
A primeira linha dá . Um autovetor associado é, por exemplo,
Para resolvemos :
que leva a . Um autovetor conveniente é

Passo 5

Escolhemos P cujas colunas são v1 e v2:
P=3 & -21 & 3
Então define-se
D=P^-1AP
e verifica-se que
D=7&00&-4,
ou seja, D é diagonal com os autovalores de A.

Resposta

(a) Autovalores e autovetores:
lambda1=7 com autovetor v1=(3,1)^T.
lambda2=-4 com autovetor v2=(-2,3)^T.
(b) Uma escolha de matriz de mudança de base é
P=3 & -21 & 3,
pois então D=P^-1AP=diag(7,-4).

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