Em cada um dos itens determine: (a) todos os autovalores de
e os correspondentes autovetores; (b) uma matriz
tal que
seja diagonal.
Passo 1
O enunciado pede (a) todos os autovalores de
e os autovetores correspondentes, e (b) uma matriz
P tal que
seja diagonal. O conteúdo aqui é a teoria de autovalores e autovetores de matrizes
2times2 e diagonalização.
Passo 2
Começamos calculando o polinômio característico de
A , que é
Fazendo as contas:
Passo 3
Resolvendo
usamos a fórmula de Bhaskara:
Logo os autovalores são
Passo 4
Para
resolvemos
:
A primeira linha dá
. Um autovetor associado é, por exemplo,
Para
resolvemos
:
que leva a
. Um autovetor conveniente é
Passo 5
Escolhemos
P cujas colunas são
v1 e
v2 :
Então define-se
e verifica-se que
ou seja,
D é diagonal com os autovalores de
A .
Resposta
(a) Autovalores e autovetores:
lambda1=7 com autovetor
v1=(3,1)^T .
lambda2=-4 com autovetor
v2=(-2,3)^T .
(b) Uma escolha de matriz de mudança de base é
pois então
D=P^-1AP=diag(7,-4) .