Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z, 3 x-2 y+4 z).
Determine a matriz associada à T nas seguintes bases de R^3 e R^2 :
B=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e B^prime=(1,3),(1,4)
Verifique que para qualquer vetor v in R^3,[v]B^prime=[T]B^B^prime[v]B^prime.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z) = (,2x+y-z,;3x-2y+4z,)
e pede a matriz de T relativa à base do domínio
B=v1=(1,1,1),;v2=(1,1,0),;v3=(1,0,0)
e à base do contradomínio
B'=w1=(1,3),;w2=(1,4)
Para isso, vamos calcular T(vj) e escrevê-los em coordenadas na base B'.

Passo 2

Cálculo de T nos vetores de B:
T(v1)=T(1,1,1)=(2+1-1,;3-2+4)=(2,5),
T(v2)=T(1,1,0)=(2+1-0,;3-2+0)=(3,1),
T(v3)=T(1,0,0)=(2+0-0,;3-0+0)=(2,3)

Passo 3

Expressão de cada
  1. Para :

Passo 4

A matriz de T relativa a B e B' tem colunas formadas pelos vetores [;T(vj);]B'. Logo,
[T]B^B' = 3 & 11 & 5 -1 & -8 & -3

Passo 5

Verificação do diagrama de coordenadas. Para um vetor genérico
,
escrevemos
Dessa forma
isto é,
De um lado, aplicamos e depois expressamos em :
e resolvendo obtemos
Do outro lado, multiplicamos a matriz por :
Concorda exatamente com , o que comprova

Resposta

A matriz de T em B e B' é
[T]B^B' = 3 & 11 & 5 -1 & -8 & -3 ,
e mostramos que [T(v)]B' = [T]B^B',[v]B.

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