Seja T: R^3 R^3. Em cada item, determine a matriz em relação à base canônica e a base B=(1,1,0),(1,2,3),(1,3,5).
T(x, y, z)=(z, y+z, x+y+z).

Passo 1

O enunciado pede duas representações matriciais do operador linear
TcolonR^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;y+z,;x+y+z),
1) na base canônica E=e1,e2,e3, e 2) na base
B=b1=(1,1,0),;b2=(1,2,3),;b3=(1,3,5)
O conteúdo principal é representação de transformações lineares e mudança de base.

Passo 2

Para achar a matriz em relação à base canônica, computamos
T(e1)=T(1,0,0)=(0,0,1), T(e2)=T(0,1,0)=(0,1,1), T(e3)=T(0,0,1)=(1,1,1)
Colocando essas imagens como colunas, obtemos
A = [T]E = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1

Passo 3

Agora calculamos as imagens dos vetores de B em coordenadas canônicas:
T(b1)=T(1,1,0)=(0,,1,,2), T(b2)=T(1,2,3)=(3,,5,,6), T(b3)=T(1,3,5)=(5,,8,,9)

Passo 4

Para escrever cada T(bi) como combinação linear dos vetores de B, resolvemos
a,b1 + b,b2 + c,b3 ;=;T(bi)
Fazendo isso para i=1,2,3 (ou seja, resolvendo sistemas Palpha=T(bi) onde P=[,b1;b2;b3]), obtemos os coeficientes coluna a coluna:
T(b1)=0,b1-1,b2+1,b3, T(b2)=1,b1+2,b2+0,b3, T(b3)=2,b1+3,b2+0,b3

Passo 5

A matriz de T na base B (i.e.\ onde as colunas são os coeficientes alpha acima) é
[T]B = 0 & 1 & 2 -1 & 2 & 3 1 & 0 & 0

Resposta

Matriz na base canônica:
0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 1 ,
Matriz na base B:
0 & 1 & 2 -1 & 2 & 3 1 & 0 & 0

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