Em cada um dos itens determine: (a) o polinômio característico de A, (b) os autovalores de A, e (c) um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de A. (d) A é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine P tal que P^-1 A P seja diagonal.
A=(rrr-7 & 5 & -1 -6 & 6 & -2 1 & 1 & 2).

Passo 1

Resumindo, temos a matriz
A = -7 & 5 & -1 -6 & 6 & -2 1 & 1 & 2
e queremos:
(a) o polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I),
(b) os autovalores lambda,
(c) um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes,
(d) verificar se A é diagonalizável (e, em caso afirmativo, achar P tal que P^-1AP seja diagonal).
Para isso vamos precisar usar a definição de determinante para achar p(lambda), resolver p(lambda)=0 e em seguida resolver (A-lambda I)x=0 para cada valor próprio.

Passo 2

Calculemos o polinômio característico
p(lambda)=det(A-lambda I) =det -7-lambda & 5 & -1 -6 & 6-lambda & -2 1 & 1 & 2-lambda
Expandindo pela primeira linha:
p(lambda)&=(-7-lambda)det6-lambda & -21 & 2-lambda -5det-6 & -21 & 2-lambda -1det-6 & 6-lambda1 & 1 &=(-7-lambda)l((6-lambda)(2-lambda)+2r) -5l(-6(2-lambda)+2r) -l(-6- (6-lambda)r)
Simplificando cada termo chega-se a
p(lambda)=lambda^3-lambda^2-11lambda+36

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos
lambda^3-lambda^2-11lambda+36=0
Testando raízes inteiras, lambda=-4 anula o polinômio. Fazendo divisão por lambda+4 obtemos
lambda^3-lambda^2-11lambda+36=(lambda+4)(lambda^2-5lambda+9)
As raízes da parte quadrática são
lambda = 5pmraiz25-362 =5pm iraiz112
Logo os autovalores são
lambda1=-4, lambda2,3=5pm iraiz112

Passo 4

Vamos achar agora os autovetores correspondentes a .
Resolvemos , i.e.
Da primeira equação vem .
Da terceira equação substituímos e obtemos , ou .
Logo um autovetor não nulo é, por exemplo,
Os autovetores para são complexos e análogos (resolvendo com ).

Passo 5

Para ser diagonalizável sobre R, A precisaria de três autovetores reais independentemente lineares. Mas só há um autovalor real ( -4) e, portanto, apenas um autovetor real de dimensão 1. Logo A não é diagonalizável sobre R.
Se permitíssemos autovetores complexos, teríamos três autovalores distintos em C e então A seria diagonalizável sobre C, com
P = l[v1;v2;v3r],
onde v2,v3 são autovetores complexos de lambda2,3.

Resposta

(a) p(lambda)=lambda^3-lambda^2-11lambda+36
(b) lambda1=-4,;lambda2,3=(5pm iraiz11)/2
(c) um autovetor real para lambda=-4 é v1=(31,17,-8)^T (os outros são complexos).
(d) A não é diagonalizável sobre R.

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