Em cada um dos itens determine: (a) o polinômio característico de , (b) os autovalores de , e (c) um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes de . (d) é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine tal que seja diagonal. .
Passo 1
Resumindo, temos a matriz
A = -7 & 5 & -1 -6 & 6 & -2 1 & 1 & 2
e queremos:
(a) o polinômio característico p(lambda)=det(A-lambda I),
(b) os autovalores lambda,
(c) um conjunto máximo de autovetores linearmente independentes,
(d) verificar se A é diagonalizável (e, em caso afirmativo, achar P tal que P^-1AP seja diagonal).
Para isso vamos precisar usar a definição de determinante para achar p(lambda), resolver p(lambda)=0 e em seguida resolver (A-lambda I)x=0 para cada valor próprio.
Vamos achar agora os autovetores correspondentes a .
Resolvemos , i.e.
Da primeira equação vem .
Da terceira equação substituímos e obtemos , ou .
Logo um autovetor não nulo é, por exemplo,
Os autovetores para são complexos e análogos (resolvendo com ).
Passo 5
Para ser diagonalizável sobre R, A precisaria de três autovetores reais independentemente lineares. Mas só há um autovalor real (-4) e, portanto, apenas um autovetor real de dimensão 1. Logo A não é diagonalizável sobre R.
Se permitíssemos autovetores complexos, teríamos três autovalores distintos em C e então A seria diagonalizável sobre C, com
P = l[v1;v2;v3r],
onde v2,v3 são autovetores complexos de lambda2,3.
Resposta
(a) p(lambda)=lambda^3-lambda^2-11lambda+36
(b) lambda1=-4,;lambda2,3=(5pm iraiz11)/2
(c) um autovetor real para lambda=-4 é v1=(31,17,-8)^T (os outros são complexos).
(d) Anão é diagonalizável sobre R.