Em cada um dos itens determine: (a) todos os autovalores de A e os correspondentes autovetores; (b) uma matriz P tal que D=P^-1 A P seja diagonal.
A=(ll2 & 2 1 & 3)

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = 2 & 21 & 3
ou seja, (a) encontrar todos os autovalores lambda de A e seus autovetores não-nulos, e (b) escolher uma matriz P cujas colunas sejam autovetores de A, de modo que
D = P^-1 A P
seja diagonal.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(A - lambda I) = det!2-lambda & 2 [6pt]1 & 3-lambda = (2-lambda)(3-lambda) - 2cdot1 = lambda^2 -5lambda +4
Resolvendo
lambda^2 -5lambda +4 = 0 Longrightarrow lambda = 1 ou lambda = 4 ]

Passo 3

Para cada autovalor, resolvemos (A - lambda I)v = 0:
1. lambda = 1:
A - I = 1 & 21 & 2,
A equação x + 2y = 0 x = -2y. Tomando y=1, escolhemos
v1 = -21
2. lambda = 4:
A - 4I = -2 & 21 & -1,
A equação -2x +2y = 0 x = y. Tomando y=1, escolhemos
v2 = 11

Passo 4

Formamos a matriz P cujas colunas são v1 e v2:
P = -2 & 1[3pt]1 & 1 ]

Passo 5

Calcula-se
D = P^-1 A P,
e verifica-se que D é a matriz diagonal com os autovalores na diagonal, isto é,
D = 1 & 0[3pt]0 & 4 ]

Resposta

(a) Os autovalores são lambda1 = 1 com autovetor l(-2,1r)^T e lambda2 = 4 com autovetor l(1,1r)^T.
(b) Uma escolha de P que diagonaliza A é
P = -2 & 1[3pt]1 & 1,
pois então
P^-1 A P = 1 & 0[3pt]0 & 4 ]

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