Determinar se T: M2 times 2(R) R é uma transformação linear:
T([lla & b c & d])=3 a-4 b+c+d

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação
Tcolon M2times2(R) to R, Tl(a & b c & dr)=3a-4b+c+d,
e pede para verificar se ela é linear. Para isso vamos usar a definição: T é linear se, para todas as matrizes X,Y e todo escalar lambda, valem
  1. T(X+Y)=T(X)+T(Y),
  2. T(lambda X)=lambda,T(X).

Passo 2

Sejam
X=a & b c & d, Y=a' & b' c' & d'
Então
X+Y =a+a' & b+b' c+c' & d+d'
e
T(X+Y) =3(a+a')-4(b+b')+(c+c')+(d+d')
;=;(3a-4b+c+d)+(3a'-4b'+c'+d') ;=;T(X)+T(Y)

Passo 3

Para um escalar lambda,
lambda X =lambda a & lambda b lambda c & lambda d
e
T(lambda X) =3(lambda a)-4(lambda b)+(lambda c)+(lambda d) =lambda,(3a-4b+c+d) =lambda,T(X)

Resposta

T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é uma transformação linear.

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