Em cada um dos ítens, encontre uma solução particular yp da equação dada.
y^(5)+2 y^(3)+2 y^prime prime=3 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular yp(x) da equação linear de coeficientes constantes
y^(5) + 2,y^(3) + 2,y'' = 3x^2 - 1
Para isso usaremos o método dos coeficientes a determinar: como o termo forçante é um polinômio em x, vamos supor uma solução particular polinomial, ajustando seu grau para não coincidir com raízes do polinômio característico.

Passo 2

O operador diferencial é
L(D)=D^5 + 2D^3 + 2D^2,
cujo polinômio característico é
r^5 + 2r^3 + 2r^2 = r^2,(r^3 + 2r + 2)
Note que r=0 é raiz de multiplicidade 2. Como o forçamento é um polinômio de grau 2, o ansatz deve ser multiplicado por x^2. Logo, tomamos
yp(x)=x^2,(A x^2 + Bx + C)=A x^4 + B x^3 + C x^2

Passo 3

Calculemos as derivadas necessárias de yp:
yp''(x)=12A x^2 + 6B x + 2C, yp^(3)(x)=24A x + 6B, yp^(5)(x)=0

Passo 4

Substituindo em L(D)yp=yp^(5)+2,yp^(3)+2,yp'' obtém-se
L(D)yp =0 ;+;2,(24A x + 6B);+;2,(12A x^2 + 6B x + 2C) =24A x^2 + (48A + 12B)x + (12B + 4C)

Passo 5

Igualando ao lado direito 3x^2 - 1 e comparando coeficientes:
24A = 3, 48A + 12B = 0, 12B + 4C = -1, Longrightarrow A = tfrac18, B = -tfrac12, C = tfrac54

Passo 6

Portanto, uma solução particular é
yp(x) = tfrac18x^4 ;-;tfrac12x^3 ;+;tfrac54x^2

Resposta

yp(x)=18,x^4 - 12,x^3 + 54,x^2

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