Em cada um dos ítens, monte a forma apropriada de uma solução particular yp, mas não determine os valores dos coeficientes.
y^prime prime+3 y^prime+2 y=x(e^-x-e^-2 x)

Passo 1

O enunciado pede a forma apropriada de uma solução particular yp para a equação
y'' + 3y' + 2y = xl(e^-x - e^-2xr),
usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Determinamos primeiro a equação característica da parte homogênea:
r^2 + 3r + 2 = 0,
cuja fatoração é (r+1)(r+2)=0. Logo as raízes são r=-1 e r=-2.

Passo 3

O lado direito é a diferença de dois termos que têm a forma “polinômio em x vezes exponencial”:
x e^-x e x e^-2x

Passo 4

Para cada termo aplicamos o seguinte raciocínio do método dos coeficientes indeterminados:
  • Como e^-x corresponde à raiz r=-1 (multiplicidade 1), o “ensaio” para x e^-x é um polinômio de grau 1 em x vezes um fator extra x. Ou seja, propomos
yp1(x) = (A x + B),x,e^-x = l(A x^2 + B xr)e^-x
  • De modo análogo, como e^-2x corresponde à raiz r=-2 (multiplicidade 1), para x e^-2x propomos
yp2(x) = (C x + D),x,e^-2x = l(C x^2 + D xr)e^-2x

Passo 5

A forma geral da solução particular é a soma dos dois ensaios:
yp(x) = yp1(x) + yp2(x)

Resposta

yp(x) = l(A x^2 + B xr)e^-x ;+; l(C x^2 + D xr)e^-2x,
onde A, B, C e D são coeficientes indeterminados.

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