Mostre que a relação T=2 pi raizL / g (que mostra o período T de um pêndulo em função de seu comprimento L e da aceleração da gravidade g) é dimensionalmente correta.

Passo 1

Então, o exercício pede pra mostrar que a fórmula
T = 2pi raizLg
é dimensionalmente correta. Isso faz parte de análise dimensional, que é a parte da física onde a gente confere se os dois lados de uma equação têm as mesmas “unidades básicas” (como tempo, comprimento, etc.). Para resolver, vamos precisar saber quais são as dimensões de cada grandeza: período T, comprimento L e aceleração da gravidade g.

Passo 2

Antes de tudo, um lembrete da teoria:
  • Cada grandeza física tem uma dimensão básica, por exemplo tempo [T], comprimento [L], massa [M], e por aí vai.
  • Análise dimensional consiste em substituir cada letra pela sua dimensão e ver se os expoentes batem dos dois lados da fórmula. Se bater, a fórmula não está “quebrando” a relação de unidades.

Passo 3

Agora vamos listar as dimensões que interessam aqui:
  • O período T tem dimensão de tempo, então
[T] = T
  • O comprimento L tem dimensão de comprimento, logo
[L] = L
  • A gravidade g é uma aceleração (distância dividida por tempo ao quadrado), então
[g] = L,T^-2

Passo 4

Vamos olhar o lado direito da fórmula:
Trm RHS = 2pi ,raizLg
  1. O fator 2pi é adimensional, ou seja [2pi]=1.
  2. Dentro da raiz temos tfracLg, então
l[tfracLgr] = [L][g] = LL,T^-2 = T^2
  1. Tirando a raiz quadrada:
raizLg = raizT^2 = T
  1. Então o lado direito fica
[,2piraizL/g,] = [2pi]times T = 1times T = T

Resposta

Como o lado esquerdo [T] também é T, concluímos que a fórmula
T = 2pi raizLg
é dimensionalmente correta.

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