1. Determine uma solução geral para a equação y^(3)+27 y=0. Primeiro encontre por verificação uma raiz inteira pequena da equação característica, depois fatore por divisão.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y^(3) + 27,y = 0
O conteúdo envolve montar a equação característica, encontrar uma raiz inteira por inspeção, fatorar o polinômio e resolver as raízes restantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada trocando y^(k) por r^k:
r^3 + 27 = 0

Passo 3

Testamos raízes inteiras pequenas. Para r=-3 temos
(-3)^3 + 27 = -27 + 27 = 0,
logo r1 = -3 é uma raiz.

Passo 4

Para fatorar r^3+27 dividimos por (r+3). Pela divisão polinomial ou sintética obtemos
r^3 + 27 = (r + 3)l(r^2 - 3r + 9r)

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática
r^2 - 3r + 9 = 0
O discriminante é
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot9 = 9 - 36 = -27,
portanto as raízes complexas são
r2,3 = 3 pm iraiz272 = 3 pm 3iraiz32

Passo 6

Como temos uma raiz real simples r1=-3 e duas complexas conjugadas
r2,3=tfrac32pm itfrac3raiz32, a solução geral é
y(x) = C1 e^-3x + e^32xl(C2cos!l(tfrac3raiz32xr)+C3sin!l(tfrac3raiz32xr)r),
onde C1,C2,C3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1 e^-3x + e^tfrac32xl(C2cos!l(tfrac3raiz32xr)+C3sin!l(tfrac3raiz32xr)r)

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