Em cada um dos ítens, monte a forma apropriada de uma solução particular yp, mas não determine os valores dos coeficientes.
y^(4)+9 y^prime prime=(x^2+1) sen(3 x)

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y^(4) + 9y'' = (x^2 + 1)sin(3x)
e pede apenas a forma de uma solução particular yp (sem calcular os coeficientes). O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para termos polinômio vezes função trigonométrica, levando em conta eventual ressonância com a solução da homogênea.

Passo 2

Primeiro, achamos a solução geral da homogênea associada. A equação característica é
r^4 + 9r^2 = 0
que fatoriza como r^2(r^2 + 9)=0. Assim as raízes são
r=0(duas vezes), r=pm3i(simp<=s)
Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1 + C2,x + C3cos(3x) + C4sin(3x)

Passo 3

O termo não-homogêneo é (x^2+1)sin(3x). Sem considerar ressonância, a forma usual de tentativa para P2(x)sin(3x) seria
(Ax^2 + Bx + C)cos(3x);+;(Dx^2 + Ex + F)sin(3x),
pois precisamos de um polinômio de grau 2 em frente a cos(3x) e outro de grau 2 em frente a sin(3x).

Passo 4

Porém cos(3x) e sin(3x) já aparecem em yh, ou seja, há ressonância de ordem 1 na frequência 3. Para anular a ressonância, multiplicamos toda a tentativa por x.

Passo 5

Com isso, a forma final da solução particular é
yp = xl[(Ax^2 + Bx + C)cos(3x) + (Dx^2 + Ex + F)sin(3x)r],
onde A,B,C,D,E,F são coeficientes a determinar.

Resposta

yp = xl[(Ax^2+Bx+C)cos(3x)+(Dx^2+Ex+F)sin(3x)r]

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