Demonstre, por indução, as seguintes identidades:
1.2^0+2.2^1+3.2^2+cdots+n cdot 2^n-1=1+(n-1) 2^n

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, a identidade
sumk=1^n k,2^k-1 ;=; 1 + (n-1),2^n
O método de indução exige dois passos: a base ( n=1) e o passo indutivo (de n para n+1).

Passo 2

(Base da indução) Para n=1, a soma no lado esquerdo é
sumk=1^1 k,2^k-1 = 1cdot 2^0 = 1
O lado direito é
1 + (1-1),2^1 = 1 + 0 = 1
Logo, a identidade vale para n=1.

Passo 3

(Passso indutivo) Suponha que, para algum n>=1, valha
sumk=1^n k,2^k-1 = 1 + (n-1),2^n
Devemos mostrar que então
sumk=1^n+1 k,2^k-1 = 1 + l((n+1)-1r),2^,n+1
Começamos escrevendo a soma até n+1 como a soma até n mais o termo k=n+1:
sumk=1^n+1 k,2^k-1 = sumk=1^n k,2^k-1 ;+;(n+1),2^n
Pela hipótese indutiva o primeiro somatório é 1+(n-1)2^n, logo
sumk=1^n+1 k,2^k-1 = l[1 + (n-1),2^nr] + (n+1),2^n = 1 + l((n-1)+(n+1)r),2^n = 1 + 2n,2^n = 1 + n,2^n+1
Isso coincide com o lado direito desejado para n+1:
1 + l((n+1)-1r),2^,n+1 = 1 + n,2^n+1

Resposta

A identidade vale para todo inteiro n>=1.

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