Demonstre, por indução, as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, a identidade
O método de indução exige dois passos: a base (
) e o passo indutivo (de
para
).
Passo 2
(Base da indução) Para
, a soma no lado esquerdo é
O lado direito é
Logo, a identidade vale para
.
Passo 3
(Passso indutivo) Suponha que, para algum
, valha
Devemos mostrar que então
Começamos escrevendo a soma até
como a soma até
mais o termo
:
Pela hipótese indutiva o primeiro somatório é
, logo
Isso coincide com o lado direito desejado para
:
Resposta
A identidade vale para todo inteiro
.