Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera
e fora do cilindro
Dentro da esfera
Passo 1
O enunciado nos pede o volume do sólido que está dentro da esfera
e fora do cilindro
Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas
, em que
,
e
, e montar uma integral tripla adequada.
Passo 2
Como truque de mestre, primeiro lembramos o volume total da esfera de raio
:
Passo 3
Agora calculamos o volume
da parte da esfera que fica dentro do cilindro
(ou seja,
) para
. Em coordenadas cilíndricas:
Passo 4
Fazendo a integral em
por substituição
,
, dá
Assim
Passo 5
A parte em
separa em duas integrais simples:
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Passo 6
O volume que queremos é a esfera inteira menos a parte
: