Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
Dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4 a^2 e fora do cilindro x^2+y^2=2 a x

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido que está dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=4a^2
e fora do cilindro
x^2+y^2=2a x
Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z), em que x=rcostheta, y=rsintheta e z=z, e montar uma integral tripla adequada.

Passo 2

Como truque de mestre, primeiro lembramos o volume total da esfera de raio 2a:
Vesfera =43pi,(2a)^3 =32pi a^33

Passo 3

Agora calculamos o volume Vc da parte da esfera que fica dentro do cilindro r^2<=2a rcostheta (ou seja, 0<= r<=2acostheta) para -tfracpi2<=theta<=tfracpi2. Em coordenadas cilíndricas:
Vc =integraltheta=-pi/2^pi/2 integralr=0^2acostheta integralz=-raiz4a^2-r^2^raiz4a^2-r^2 r,dz,dr,dtheta =2integral-pi/2^pi/2integral0^2acostheta raiz4a^2-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Fazendo a integral em r por substituição u=4a^2-r^2, du=-2r,dr, dá
integral0^2acosthetaraiz4a^2-r^2;r,dr =13l(8a^3-8a^3|sin^3theta|r) =8a^33l(1-|sin^3theta|r)
Assim
Vc =16a^33integral-pi/2^pi/2l(1-|sin^3theta|r),dtheta

Passo 5

A parte em theta separa em duas integrais simples:
integral-pi/2^pi/21,dtheta=pi, integral-pi/2^pi/2|sin^3theta|,dtheta =2integral0^pi/2sin^3theta,dtheta =2cdot23=43
Logo
Vc =16a^33l(pi-tfrac43r) =16pi a^33-64a^39

Passo 6

O volume que queremos é a esfera inteira menos a parte Vc:
V =Vesfera-Vc =32pi a^33 -l(16pi a^33-64a^39r) =16pi a^33+64a^39 =16a^39l(3pi+4r)

Resposta

V=16a^39l(3pi+4r)

Exercícios relacionados