Em cada um dos ítens, monte a forma apropriada de uma solução particular yp, mas não determine os valores dos coeficientes.
(D-1)^3(D^2-4) y=x e^x+e^2 x+e^-2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear
(D-1)^3(D^2-4),y ;=; x,e^x ;+; e^2x ;+; e^-2x,
onde D=ddx. O método dos coeficientes a determinar diz que, para cada termo do lado direito da forma
p(x),e^alpha x,
procuramos uma solução particular yp do tipo
x^s,Q(x),e^alpha x,
onde Q(x) é um polinômio de mesmo grau que p(x) e s é a multiplicidade da raiz alpha no polinômio característico do operador diferencial. Vamos montar um ansatz yp para cada termo e depois somá-los.

Passo 2

Para x,e^x, temos alpha=1 e p(x)=x (polinômio de grau 1). No operador, r=1 é raiz de (r-1)^3 com multiplicidade 3, logo s=3. O polinômio Q(x) deve ter grau 1. Assim um ansatz para esta parte é
yp1 = x^3,(A,x + B),e^x

Passo 3

Para e^2x, temos alpha=2 e p(x) constante (grau 0). No operador, alpha=2 é raiz simples de D^2-4, logo s=1. O polinômio Q(x) tem grau 0. O ansatz é
yp2 = C,x,e^2x

Passo 4

Para e^-2x, temos alpha=-2 e p(x) constante. No operador, alpha=-2 também é raiz simples de D^2-4, logo s=1. O polinômio Q(x) tem grau 0. O ansatz é
yp3 = D,x,e^-2x

Passo 5

A solução particular geral é a soma dos três ans^atze:
yp = x^3(A,x + B),e^x ;+; C,x,e^2x ;+; D,x,e^-2x,
onde A, B, C e D são coeficientes a determinar.

Resposta

yp = x^3(A,x + B),e^x ;+; C,x,e^2x ;+; D,x,e^-2x

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