Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região
e tem a função densidade fornecida
.
Passo 1
O enunciado pede a massa
e as coordenadas do centro de massa
da lâmina de densidade
sobre
Vamos usar integrais iteradas em
e
.
Passo 2
Expressão da massa como integral iterada:
Primeiro integramos em
:
Logo
Passo 3
Para calcular
usamos
, então
Portanto
Passo 4
Agora a coordenada
-do-centro-de-massa:
Definimos
então
.
Passo 5
Para
usamos
:
Aqui
.
Para fazemos
integração por partes ( ,
), obtendo
. Logo
Para
integração por partes (
Passo 6
Substituindo em
:
Passo 7
Agora a coordenada
-do-centro-de-massa:
Fazendo a integral em
:
então
Sabemos
, logo
Resposta
m