Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem a função densidade fornecida rho.
D=(x, y) mid 0 <= y <= cos x, 0 <= x <= pi / 2 ; rho(x, y)=y

Passo 1

O enunciado pede a massa
m=integral duplaDrho(x,y),dA
e as coordenadas do centro de massa
bar x=1mintegral duplaDx,rho(x,y),dA, bar y=1mintegral duplaDy,rho(x,y),dA
da lâmina de densidade rho(x,y)=y sobre
D=(x,y)mid 0<= y<=cos x,;0<= x<=pi/2
Vamos usar integrais iteradas em x e y.

Passo 2

Expressão da massa como integral iterada:
m=integralx=0^pi/2integraly=0^cos xy,dy,dx
Primeiro integramos em y:
integral0^cos xy,dy =12l(cos xr)^2 =12cos^2x
Logo
m=integral0^pi/212cos^2x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pi/2cos^2x,dx usamos
cos^2x=tfrac1+cos2x2, então
integral0^pi/2cos^2x,dx =12integral0^pi/21,dx +12integral0^pi/2cos2x,dx =12cdotpi2 +12cdot0 =pi4
Portanto
m=12cdotpi4 =pi8

Passo 4

Agora a coordenada x-do-centro-de-massa:
bar x =1mintegral duplaDx,y,dA =1mintegral0^pi/2integral0^cos xx,y,dy,dx =1mintegral0^pi/2x2cos^2x,dx
Definimos
I1=integral0^pi/2xcos^2x,dx,
então
bar x=(1/m),(1/2),I1.

Passo 5

Para I1 usamos cos^2x=(1+cos2x)/2:
I1 =12integral0^pi/2x,dx +12integral0^pi/2xcos2x,dx
Aqui
integral0^pi/2x,dx=l[x^2/2r]0^pi/2=pi^2/8.
Para integral0^pi/2xcos2x,dx fazemos
integração por partes ( u=x, dv=cos2x,dx), obtendo
integral0^pi/2xcos2x,dx=-tfrac12. Logo
I1 =12cdotpi^28 +12cdotl(-12r) =pi^216-14

Passo 6

Substituindo em bar x:
bar x =1m,12,I1 =1(pi/8)cdot12gl(pi^216-14gr) =8picdot12cdotpi^2-416 =pi^2-44pi

Passo 7

Agora a coordenada y-do-centro-de-massa:
bar y =1mintegral duplaDy,rho,dA =1mintegral0^pi/2integral0^cos xy^2,dy,dx
Fazendo a integral em y:
integral0^cos xy^2,dy =13cos^3x,
então
bar y =1mintegral0^pi/213cos^3x,dx =1mcdot13integral0^pi/2cos^3x,dx
Sabemos integral0^pi/2cos^3x,dx=2/3, logo
bar y =1(pi/8)cdot13cdot23 =8picdot29 =169pi

Resposta

m = pi8 bar x=pi^2-44pi, bar y=169pi

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