Calcule a integral iterada.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 arctg yx d y d x

Passo 1

O exercício pede pra gente calcular a integral iterada
integral0^3integral0^raiz9-x^2arctgyx;dy;dx
Isso é conteúdo de Cálculo Multivariável: vamos usar a troca para coordenadas polares e o conceito de jacobiano. Precisamos lembrar:
  • Em polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
  • A área elementar vira
dy,dx = r,dr,dtheta,
  • E, no primeiro quadrante (0≤θ≤π/2),
arctgyx = theta

Passo 2

Vamos descrever a região de integração:
  • O integral em x vai de 0 a 3;
  • Para cada x, y vai de 0 até raiz9-x^2.
    Isso é exatamente o quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante (porque x^2+y^2<=9 e x,y>=0).
    Em coordenadas polares fica fácil:
r varia de 0 a 3, theta varia de 0 a pi2

Passo 3

Fazendo a troca
x = rcostheta, y = rsintheta, dy,dx = r,dr,dtheta,
o integrando arctgtfracyx vira theta.
Logo a integral se transforma em
integral0^pi/2integral0^3 theta;l(r,dr,dthetar) = integral0^pi/2integral0^3 theta,r;dr,dtheta

Passo 4

Primeiro a gente integra em r, tratando theta como constante:
integral0^3 theta,r;dr = thetaintegral0^3r;dr = theta[r^22]0^3 = thetacdot92 = 92,theta
Então a ordem se reduz a
integral0^pi/2 92,theta;dtheta

Passo 5

Agora integramos em theta:
92integral0^pi/2theta;dtheta = 92[theta^22]0^pi/2 = 92cdot(pi/2)^22 = 92cdotpi^28 = 9pi^216

Resposta

boxed9pi^216

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