Calcule a integral iterada.
Passo 1
O exercício pede pra gente calcular a integral iterada
Isso é conteúdo de Cálculo Multivariável: vamos usar a troca para coordenadas polares e o conceito de jacobiano. Precisamos lembrar:
- Em polares definimos
- A área elementar vira
- E, no primeiro quadrante (0≤θ≤π/2),
Passo 2
Vamos descrever a região de integração:
- O integral em x vai de 0 a 3;
- Para cada x, y vai de 0 até
.
Isso é exatamente o quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante (porquee ).
Em coordenadas polares fica fácil:
Passo 3
Fazendo a troca
o integrando
vira
.
Logo a integral se transforma em
Logo a integral se transforma em
Passo 4
Primeiro a gente integra em
, tratando
como constante:
Então a ordem se reduz a
Passo 5
Agora integramos em
: