Em cada um dos itens seguintes use o Wronskiano para provar que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.
f(x)=x, g(x)=cos (ln x), h(x)=sen(ln x) ; x>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em x>0, as funções
f(x)=x, g(x)=cos(ln x), h(x)=sin(ln x)
são linearmente independentes, usando o Wronskiano. Lembrando que, para três funções, o Wronskiano é
W(x)= f(x) & g(x) & h(x) f'(x)&g'(x)&h'(x) f''(x)&g''(x)&h''(x) ,
e se W(x)neq0 em todo o intervalo, então as funções são linearmente independentes.

Passo 2

Calculemos as derivadas necessárias:
- f(x)=x implica
f'(x)=1, f''(x)=0
- g(x)=cos(ln x)
g'(x)=-sin(ln x),1x , g''(x) =1x^2sin(ln x) -1x^2cos(ln x)
- h(x)=sin(ln x)
h'(x)=cos(ln x),1x , h''(x) =-1x^2cos(ln x) -1x^2sin(ln x)

Passo 3

Escrevemos o Wronskiano em forma de determinante:
W(x)= x & cos(ln x) & sin(ln x)[6pt] 1 & -dfrac1xsin(ln x) & dfrac1xcos(ln x)[6pt] 0 & dfrac1x^2l(sin(ln x)-cos(ln x)r) & -dfrac1x^2l(cos(ln x)+sin(ln x)r)
Fatoramos tfrac1x da segunda linha e tfrac1x^2 da terceira linha, extraindo no total tfrac1x^3:
W(x) =1x^3 x & cos(ln x) & sin(ln x) x & -sin(ln x) & cos(ln x) 0 & sin(ln x)-cos(ln x) & -l(cos(ln x)+sin(ln x)r) ]

Passo 4

Chamando cos(ln x)=C e sin(ln x)=S, o determinante interno é
x & C & S x & -S & C 0 & S-C & -(C+S) = x-S & C S-C & -(C+S) -,xC & S S-C & -(C+S)
Calculando as duas 2times 2:
-S & C S-C & -(C+S) =S^2+C^2, C & S S-C & -(C+S) =-(S^2+C^2)
Logo o 3times 3 vale
x,(S^2+C^2)-xl(-(S^2+C^2)r) =2x(S^2+C^2) =2x
Assim
W(x)=1x^3,2x=2x^2

Passo 5

Como em x>0 temos tfrac2x^2neq0, o Wronskiano é não nulo em todo o intervalo. Portanto, as três funções são linearmente independentes em x>0.

Resposta

As funções f(x)=x, g(x)=cos(ln x) e h(x)=sin(ln x) são linearmente independentes em x>0, pois seu Wronskiano é
W(x)=2x^2neq0

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