Em cada um dos itens seguintes use o Wronskiano para provar que as funções dadas são linearmente independentes no intervalo indicado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em
, as funções
são linearmente independentes, usando o Wronskiano. Lembrando que, para três funções, o Wronskiano é
e se
W(x)neq0 em todo o intervalo, então as funções são linearmente independentes.
Passo 2
Calculemos as derivadas necessárias:
-f(x)=x implica
-
-
g(x)=cos(ln x) dá
-
h(x)=sin(ln x) dá
Passo 3
Escrevemos o Wronskiano em forma de determinante:
Fatoramos
tfrac1x da segunda linha e
tfrac1x^2 da terceira linha, extraindo no total
tfrac1x^3 :
Passo 4
Chamando
cos(ln x)=C e
sin(ln x)=S , o determinante interno é
Calculando as duas
2times 2 :
Logo o
3times 3 vale
Assim
Passo 5
Como em
x>0 temos
tfrac2x^2neq0 , o Wronskiano é não nulo em todo o intervalo. Portanto, as três funções são linearmente independentes em
x>0 .
Resposta
As funções
f(x)=x ,
g(x)=cos(ln x) e
h(x)=sin(ln x) são linearmente independentes em
x>0 , pois seu Wronskiano é