Calcul& 2^2 as derivadas parciais de 1^ a ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
j(x, y)=y / x

Passo 1

O enunciado dá a função
j(x,y)=yx
e pede as derivadas parciais de primeira ordem e os respectivos domínios. Para isso precisamos usar a definição de derivada parcial, tratando em cada caso a outra variável como constante, ou aplicar a regra do quociente.

Passo 2

Antes de derivar, determinamos o domínio de j. Como há divisão por x, devemos ter
xneq 0
Portanto o domínio de j é
D=(x,y)inR^2mid xneq 0

Passo 3

Para calcular partial j/partial x, tratamos y como constante e derivamos
j(x,y)=ycdot x^-1
Usando a regra da potência,
partial jpartial x(x,y) =ycdot(-1),x^-2 =-yx^2

Passo 4

Para calcular partial j/partial y, tratamos x como constante e derivamos
j(x,y)=yx
em relação a y, obtendo
partial jpartial y(x,y) =1x

Passo 5

As duas derivadas parciais têm denominadores em x ou x^2, então ambas existem exatamente quando xneq0. Logo o domínio das derivadas parciais é o mesmo de j:
(x,y)inR^2mid xneq0

Resposta

partial jpartial x(x,y)=-yx^2, partial jpartial y(x,y)=1x, domínio:;xneq0 í

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