Em cada um dos problemas seguintes são dadas uma equação linear de terceira ordem homogênea e três soluções linearmente independentes. Encontre uma solução particular satisfazendo as condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
e fornece três soluções fundamentais linearmente independentes
,
,
.
O objetivo é construir a solução geral como combinação linear dessas bases e depois determinar os coeficientes para satifazer as condições iniciais
O objetivo é construir a solução geral como combinação linear dessas bases e depois determinar os coeficientes para satifazer as condições iniciais
Passo 2
Escrevemos a solução geral como
onde
,
e
são constantes a determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
:
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Impondo as condições iniciais, obtemos o sistema linear em
Subtraindo a primeira equação da terceira, , da segunda equação
Da primeira equação
Resolvendo o sistema
temos , e
.
Passo 5
Substituindo
,
e
na solução geral, obtemos