Em cada um dos problemas seguintes são dadas uma equação linear de terceira ordem homogênea e três soluções linearmente independentes. Encontre uma solução particular satisfazendo as condições iniciais dadas.
y^(3)+2 y^prime prime-y^prime-2 y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=2, y^prime prime(0)=0 ; y1=e^x, y2=e^-x, y3=e^-2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem com coeficientes constantes
y^(3) + 2y'' - y' - 2y = 0
e fornece três soluções fundamentais linearmente independentes
,y1=e^x, ,y2=e^-x, ,y3=e^-2x.
O objetivo é construir a solução geral como combinação linear dessas bases e depois determinar os coeficientes para satifazer as condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=2, y''(0)=0

Passo 2

Escrevemos a solução geral como
y(x) = A,e^x + B,e^-x + C,e^-2x,
onde A, B e C são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y(x):
y'(x) = A,e^x - B,e^-x - 2C,e^-2x,
y''(x) = A,e^x + B,e^-x + 4C,e^-2x
Agora avaliamos em x=0:
y(0)=A + B + C, y'(0)=A - B -2C, y''(0)=A + B +4C

Passo 4

Impondo as condições iniciais, obtemos o sistema linear em
Subtraindo a primeira equação da terceira, , da segunda equação
Da primeira equação
Resolvendo o sistema
temos , e .

Passo 5

Substituindo A=tfrac43, B=0 e C=-tfrac13 na solução geral, obtemos
y(x) = tfrac43,e^x ;-;tfrac13,e^-2x

Resposta

y(x) = 43e^x - 13e^-2x

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