Em cada um dos itens a seguir, ache a matriz 4 times 4=A=[ai j] que satisfaz a condição dada:
ai j=sen((i+j-1) pi4)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de matrizes onde precisamos encontrar uma matriz 4x4 A = [aij] . A regra para cada elemento dessa matriz é dada por aij = sin((i + j - 1)pi4) . Isso envolve conhecimentos de matrizes e funções trigonométricas, especialmente o seno. Vamos precisar identificar os índices i e j para cada posição na matriz e calcular o valor correspondente usando a função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os índices i e j funcionam. Em uma matriz 4x4, tanto i quanto j variam de 1 a 4, representando as linhas e colunas, respectivamente. Para cada combinação de i e j , vamos calcular aij = sin((i + j - 1)pi4) .

Passo 3

Vamos calcular cada elemento da matriz passo a passo:
  • Linha 1 ( i = 1 ):
    • j = 1 : a11 = sin((1 + 1 - 1)pi4) = sin(1pi4) = sin(pi4) = raiz22
    • j = 2 : a12 = sin((1 + 2 - 1)pi4) = sin(2pi4) = sin(pi2) = 1
    • j = 3 : a13 = sin((1 + 3 - 1)pi4) = sin(3pi4) = raiz22
    • j = 4 : a14 = sin((1 + 4 - 1)pi4) = sin(4pi4) = sin(pi) = 0
  • Linha 2 ( i = 2 ):
    • j = 1 : a21 = sin((2 + 1 - 1)pi4) = sin(2pi4) = sin(pi2) = 1
    • j = 2 : a22 = sin((2 + 2 - 1)pi4) = sin(3pi4) = raiz22
    • j = 3 : a23 = sin((2 + 3 - 1)pi4) = sin(4pi4) = sin(pi) = 0
    • j = 4 : a24 = sin((2 + 4 - 1)pi4) = sin(5pi4) = -raiz22
  • Linha 3 ( i = 3 ):
    • j = 1 : a31 = sin((3 + 1 - 1)pi4) = sin(3pi4) = raiz22
    • j = 2 : a32 = sin((3 + 2 - 1)pi4) = sin(4pi4) = sin(pi) = 0
    • j = 3 : a33 = sin((3 + 3 - 1)pi4) = sin(5pi4) = -raiz22
    • j = 4 : a34 = sin((3 + 4 - 1)pi4) = sin(6pi4) = sin(3pi2) = -1
  • Linha 4 ( i = 4 ):
    • j = 1 : a41 = sin((4 + 1 - 1)pi4) = sin(4pi4) = sin(pi) = 0
    • j = 2 : a42 = sin((4 + 2 - 1)pi4) = sin(5pi4) = -raiz22
    • j = 3 : a43 = sin((4 + 3 - 1)pi4) = sin(6pi4) = sin(3pi2) = -1
    • j = 4 : a44 = sin((4 + 4 - 1)pi4) = sin(7pi4) = -raiz22

Resposta

A matriz A que satisfaz a condição dada é:
A = raiz22 & 1 & raiz22 & 0 1 & raiz22 & 0 & -raiz22 raiz22 & 0 & -raiz22 & -1 0 & -raiz22 & -1 & -raiz22

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