Seja
uma matriz que satisfaz
. A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, exiba a sua inversa.
Passo 1
O enunciado diz que a matriz
satisfaz
O conteúdo que vamos usar envolve o polinômio característico mínimo de
, a relação de Cayley–Hamilton e o fato de que, se zero não é raiz desse polinômio, então
é invertível e sua inversa pode ser escrita como polinômio em
.
Passo 2
Para ver se zero é raiz, fatoramos o polinômio
Testando
obtemos
logo
é fator. Fazendo a divisão polinomial,
e notamos que
. Assim as raízes são
Passo 3
Como nenhuma das raízes é
, concluímos que zero não pertence ao espectro de
. Portanto
é invertível.
Passo 4
Começamos de
e multiplicamos à esquerda por
, obtendo
Isolando
vem
logo
Resposta
Sim,
é invertível e