Seja A in Mn(R) uma matriz que satisfaz A^3-5 A^2+8 A-4 In=0. A matriz A é invertível? Em caso afirmativo, exiba a sua inversa.

Passo 1

O enunciado diz que a matriz Ain Mn(R) satisfaz
A^3-5A^2+8A-4In=0
O conteúdo que vamos usar envolve o polinômio característico mínimo de A, a relação de Cayley–Hamilton e o fato de que, se zero não é raiz desse polinômio, então A é invertível e sua inversa pode ser escrita como polinômio em A.

Passo 2

Para ver se zero é raiz, fatoramos o polinômio
lambda^3-5lambda^2+8lambda-4
Testando lambda=1 obtemos
1-5+8-4=0,
logo lambda-1 é fator. Fazendo a divisão polinomial,
lambda^3-5lambda^2+8lambda-4=(lambda-1)(lambda^2-4lambda+4)
e notamos que lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2. Assim as raízes são
lambda=1e lambda=2 (dupla)

Passo 3

Como nenhuma das raízes é lambda=0, concluímos que zero não pertence ao espectro de A. Portanto A é invertível.

Passo 4

Começamos de
A^3-5A^2+8A-4In=0
e multiplicamos à esquerda por A^-1, obtendo
A^2-5A+8In-4A^-1=0
Isolando A^-1 vem
4A^-1=A^2-5A+8In,
logo
A^-1=14l(A^2-5A+8Inr)

Resposta

Sim, A é invertível e
A^-1=tfrac14l(A^2-5A+8Inr)

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