Escreva cada uma das matrizes abaixo como produto de matrizes elementares, e encontre suas inversas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a matriz
A = 4 & 31 & 5
como produto de matrizes elementares e, em seguida, encontrar A^-1.
O conteúdo que vamos usar inclui operações elementares de linha (e as matrizes elementares associadas) e a relação
Ek cdots E2E1A = I Longrightarrow A = (Ekcdots E2E1)^-1 = E1^-1E2^-1cdots Ek^-1
Passo 2
Primeiro verificamos que det(A)neq0, pois
det(A) = 4cdot5 - 1cdot3 = 20 - 3 = 17 neq 0,
logo A é invertível e podemos usar eliminação de Gauss via matrizes elementares.
Passo 3
Aplicamos as seguintes operações de linha em A para chegar em I, e anotamos cada matriz elementar à esquerda:
1. R1 tfrac14 R1. A matriz elementar é
E1 = tfrac14 & 0 [6pt] 0 & 1
2. R2 R2 - R1. A matriz elementar é
E2 = 1 & 0 [3pt] -1 & 1
3. R2 tfrac417 R2. A matriz elementar é
E3 = 1 & 0 [3pt] 0 & tfrac417
4. R1 R1 - tfrac34 R2. A matriz elementar é
E4 = 1 & -tfrac34 [3pt] 0 & 1
Após essas quatro operações temos
E4 E3 E2 E1 A = I ]
Passo 4
Da relação anterior segue
A = l(E4 E3 E2 E1r)^-1 = E1^-1 E2^-1 E3^-1 E4^-1
Como inversa de cada matriz elementar também é elementar, temos