Em cada um dos itens a seguir, calcule o ângulo, a distância entre u e v e as projeções P_{u} v e P_{v} u.
u=(1, \sqrt{3}), v=(3, \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado dá os vetores
u=(1,\sqrt{3}),\quad v=(3,\sqrt{3})
e pede:
– o ângulo entre u e v;
– a distância entre u e v;
– as projeções ortogonais P_{u}v e P_{v}u.
Vamos usar produto escalar para o ângulo, norma de vetor para a distância e a fórmula
P_{a}b = \frac{b\cdot a}{\|a\|^2}\,a
para projeções.

Passo 2

Calcular produto escalar e normas:
u\cdot v = 1\cdot 3 + \sqrt{3}\,\sqrt{3} = 3 + 3 = 6,
\|u\| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2, \quad \|v\| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
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\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|} = \frac{6}{2\cdot 2\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2},
portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr) = \frac{\pi}{6}\quad(\,30^\circ\,).

Passo 3

Para a distância, usamos \|u-v\|. Temos
u-v = (1-3,\;\sqrt{3}-\sqrt{3}) = (-2,0),
\|u-v\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2.

Passo 4

Projeção de v sobre u:
P_{u}v = \frac{v\cdot u}{\|u\|^2}\,u = \frac{6}{2^2}\,(1,\sqrt{3}) = \tfrac{6}{4}\,(1,\sqrt{3}) = \tfrac{3}{2}\,(1,\sqrt{3}) = \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr).

Passo 5

Projeção de u sobre v:
P_{v}u = \frac{u\cdot v}{\|v\|^2}\,v = \frac{6}{(2\sqrt{3})^2}\,(3,\sqrt{3}) = \frac{6}{12}\,(3,\sqrt{3}) = \tfrac{1}{2}\,(3,\sqrt{3}) = \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr).

Resposta

Ângulo \theta = \tfrac{\pi}{6} ( 30\circ)
Distância \|u-v\| = 2 P_{u}v = \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr) P_{v}u = \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)

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